Câu hỏi:
(THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = 2x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm \(A,\,B\) sao cho độ dài \(AB\) là nhỏ nhất.
A. \(2\).
B. \(1\).
C. \( – 1\).
D. \(3\).
Lời giải:
Chọn D
Gọi hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = 2x + m\) có đồ thị là \(\left( d \right).\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\): \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 2x + m,\,\,\forall x \ne – 1.\)
\( \Leftrightarrow x + 3 = 2{x^2} + 2x + mx + m\,\,\, \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m – 3 = 0,\,\,\forall x \ne 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A,B\,\, \Leftrightarrow \)Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( – 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\g\left( { – 1} \right) \ne 0\end{array} \right.\) với \(g\left( x \right) = 2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m – 3\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} – 4.2.\left( {m – 3} \right) > 0\\ – 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} – 6m + 25 > 0,\,\,\forall m.\)
Giả sử hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là \({x_1},{x_2}\). Khi đó \(A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right)\)\(B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right)\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có \({x_1} + {x_2} = – \frac{{m + 1}}{2};\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{m – 3}}{2}\)
Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {2{x_2} – 2{x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 20{x_1}{x_2}} \)
\(AB = \sqrt {5.{{\left( {\frac{{m + 1}}{2}} \right)}^2} – 20.\frac{{m – 3}}{2}} \) \( = \sqrt {\frac{{5{m^2} + 10m + 5 – 40m + 120}}{4}} \) \( = \frac{{\sqrt {5{{\left( {m – 3} \right)}^2} + 80} }}{2} \ge 2\sqrt 5 .\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(m = 3.\)
Vậy \(m = 3\) thì độ dài \(AB\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\sqrt 5 .\)
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm VDC Hàm số
Trả lời