(THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 2022;2022} \right]\) để bất phương trình \(\left( {3m + 1} \right){12^x} + \left( {2 – m} \right){6^x} + {3^x} < 0\) có nghiệm đúng với \(\forall x > 0\)?

A. \(2021\).

B. \(4044\).

C. \(2022\).

D. \(2020\).

Lời giải:

Chọn A

Ta có \(\left( {3m + 1} \right){12^x} + \left( {2 – m} \right){6^x} + {3^x} < 0 \Leftrightarrow \left( {3m + 1} \right){4^x} + \left( {2 – m} \right){2^x} + 1 < 0\).

Đặt \({2^x} = t\). Vì \(x > 0 \Rightarrow t > 1\).

Bất phương trình trở thành: \(\left( {3m + 1} \right){t^2} + \left( {2 – m} \right)t + 1 < 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {3{t^2} – t} \right) + {t^2} + 2t + 1 < 0\)\( \Leftrightarrow m < – \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{3{t^2} – t}}\) (Vì \(3{t^2} – t > 0,\forall t > 1\)).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = – \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{3{t^2} – t}}\) với \(t > 1\).

Ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{{7{t^2} + 6t – 1}}{{{{\left( {3{t^2} – t} \right)}^2}}}\).

Ta thấy: \(f’\left( t \right) = \frac{{7{t^2} + 6t – 1}}{{{{\left( {3{t^2} – t} \right)}^2}}} > 0,\forall t > 1\) nên \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Do đó\(m < – \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{3{t^2} – t}},\forall t > 1\) khi và chỉ khi \(m \le f\left( 1 \right) = – 2\).

Vì \(m \in \left[ { – 2022;2022} \right]\) và \(m\) nên \(m \in \left\{ { – 2022; – 2021;…; – 2} \right\}\). Vậy có 2021 giá trị thoả mãn.