(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3x} \right) + 3{x^2} – 4x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ – 2}}{3};\frac{2}{3}} \right]\) bằng

A. \(f\left( 0 \right) + 1\).

B. \(f\left( 6 \right)\).

C. \(f\left( 2 \right) – \frac{1}{3}\).

D. \(f\left( { – 3} \right) + 8\).

Lời giải:

Chọn C

Ta có \(g’\left( x \right) = 3f’\left( {3x} \right) + 6x – 4 \Rightarrow g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {3x} \right) = – 2x + \frac{4}{3} \Leftrightarrow f’\left( {3x} \right) = \frac{{ – 2}}{3}\left( {3x} \right) + \frac{4}{3}\)\(\left( 1 \right)\).

Đặt \(3x = t \Leftrightarrow x = \frac{t}{3}\) vì \(x \in \left[ {\frac{{ – 2}}{3};\frac{2}{3}} \right]\) nên \(t \in \left[ { – 2;2} \right]\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(f’\left( t \right) = \frac{{ – 2}}{3}t + \frac{4}{3}\).

Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ ta được:

Xét trên \(\left[ { – 2;2} \right]\), \(f’\left( t \right) = \frac{{ – 2}}{3}t + \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = 2\end{array} \right.\).

Do đó, trên \(\left[ { – \frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right]\) có \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = – 1\\3x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \frac{1}{3}\\x = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ { – \frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right]\)

Từ bảng biến thiên, suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{{ – 2}}{3};\frac{2}{3}} \right]} g\left( x \right) = g\left( {\frac{2}{3}} \right) = f\left( 2 \right) – \frac{1}{3}.\)