(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \({9^{x + \frac{1}{2}}} – 4m{.3^x} + m + 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 1\)?

A. \(m = \frac{3}{4}\).

B. \(m = – \frac{3}{4}\).

C. \(m = 7\).

D. \(m = – 1\).

Lời giải:

Chọn C

Ta có \({9^{x + \frac{1}{2}}} – 4m{.3^x} + m + 2 = 0 \Leftrightarrow {3.3^{2x}} – 4m{.3^x} + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right).\)

Đặt \({3^x} = t,\left( {t > 0} \right)\).

Phương trình đã cho trở thành: \(3{t^2} – 4mt + m + 2 = 0\left( * \right)\)

Để \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm \(0 < {t_1} < {t_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}.{t_2} > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} – 3m – 6 > 0\\\frac{{4m}}{3} > 0\\\frac{{m + 2}}{3} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > \frac{{3 + \sqrt {105} }}{8}\).

Ta có: \(\frac{{m + 2}}{3} = {t_1}.{t_2} = {3^{{x_1}}}{.3^{{x_2}}} = {3^{{x_1} + {x_2}}}\) mà \({x_1} + {x_2} = 1\) nên ta có: \(3 = \frac{{m + 2}}{3} \Leftrightarrow m = 7\)(tmđk).