(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ – 3}} = \frac{z}{1}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) chứa \(d\) và cùng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) lần lượt tại \(A,\,B\). Gọi \(I\) tà tâm mặt cầu \(\left( S \right)\). Giá trị \(\cos \widehat {AIB}\) bằng
A. \( – \frac{1}{9}\).
B. \(\frac{1}{9}\).
C. \( – \frac{1}{3}\).
D. \(\frac{1}{3}\).
Lời giải:
Chọn A
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2; – 1; – 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).
Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 2 + 2t\\y = – 1 – 3t\\z = t\end{array} \right.,\,\,\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; – 3;1} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(
D.\) Vì \(H \in d \Rightarrow H\left( { – 2 + 2t; – 1 – 3t;t} \right)\)
\( \Rightarrow \,\overrightarrow {IH} = \left( { – 4 + 2t; – 3t;t + 1} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow 2\left( { – 4 + 2t} \right) – 3\left( { – 3t} \right) + \left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Rightarrow \) \(H\left( { – 1; – \frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và \(IH = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}.\)
Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) lên \(IH\).
Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(A\) có:\(I{A^2} = IM.IH \Rightarrow IM = \frac{{I{A^2}}}{{IH}} = \frac{{{R^2}}}{{IH}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.\)
Xét tam giác \(AIM\) vuông tại \(M\) có \(A{M^2} = \sqrt {I{A^2} – I{M^2}} = \sqrt {{R^2} – I{M^2}} = \frac{{\sqrt {30} }}{3} \Rightarrow \) \(AB = \frac{{2\sqrt {30} }}{3}\).
Tam giác \(AIB\) có \(IA = IB = \sqrt 6 ,\,AB = \frac{{2\sqrt {30} }}{3}\). Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(AIB\) ta có:
\(cos\widehat {AIB} = \frac{{I{A^2} + I{B^2} – A{B^2}}}{{2IA.IB}} = – \frac{1}{9}.\)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời