(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Cho các hàm số \(y = f\left( x \right)\);\(y = f\left( {f\left( x \right)} \right)\); \(y = f\left( {{x^2} + 2x – 1} \right)\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right);\,\left( {{C_2}} \right);\,\left( {{C_3}} \right)\). Đường thẳng \(x = 2\) cắt \(\left( {{C_1}} \right);\,\left( {{C_2}} \right);\,\left( {{C_3}} \right)\) lần lượt tại \(A,\,B,\,C\). Biết rằng phương trình tiếp tuyến của \(\left( {C_1^{}} \right)\) tại \(A\) và của \(\left( {C_2^{}} \right)\) tại \(B\) lần lượt là \(y = 2x + 3\) và \(y = 8x + 5\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( {C_3^{}} \right)\) tại \(C\) là

A. \(y = 8x – 9\).

B. \(y = 12x + 3\).

C. \(y = 24x – 27\).

D. \(y = 4x + 1\).

Lời giải:

Chọn C

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = 2\):

\(y = f’\left( 2 \right)\left( {x – 2} \right) + f\left( 2 \right)\) \( = f’\left( 2 \right)x – 2f’\left( 2 \right) + f\left( 2 \right)\).

Thực hiện phép đồng nhất thức với phương trình tiếp tuyến \(y = 2x + 3\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( 2 \right) = 2\\ – 2f’\left( 2 \right) + f\left( 2 \right) = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f’\left( 2 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = 7\end{array} \right..\)

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right)} \right)\) tại điểm \(x = 2\):

\(y = f’\left( 2 \right)f’\left( {f\left( 2 \right)} \right)\left( {x – 2} \right) + f\left( {f\left( 2 \right)} \right)\) \( = 2f’\left( 7 \right)\left( {x – 2} \right) + f\left( 7 \right)\) \( = 2f’\left( 7 \right)x – 4f’\left( 7 \right) + f\left( 7 \right)\).

Thực hiện phép đồng nhất thức với phương trình tiếp tuyến \(y = 8x + 5\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}2f’\left( 7 \right) = 8\\ – 4f’\left( 7 \right) + f\left( 7 \right) = 5\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f’\left( 7 \right) = 4\\f\left( 7 \right) = 21\end{array} \right.\).

+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x – 1} \right)\) tại điểm \(x = 2\) là

\(y = 6f’\left( 7 \right)\left( {x – 2} \right) + f\left( 7 \right) = 24\left( {x – 2} \right) + 21 = 24x – 27\).