Câu hỏi:
(THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 2 – 3t}\end{array}} \right.\). Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho\(MA,MB,MC\) là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng \((ABC)\) đi qua điểm \(D(1;1;2)\). Tổng \(T = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2\) bằng
A. 21.
B. 30.
C. 20.
D. 26.
Lời giải:
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(O(0;0;0)\) và bán kính \(R = 3\).
Gọi \(A(x;y;z) \in (S)\) ta có \(O{A^2} + A{M^2} = O{M^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9 + {\left[ {x – \left( {1 + {t_0}} \right)} \right]^2} + {\left[ {y – \left( {1 + 2{t_0}} \right)} \right]^2} + {\left[ {z – \left( {2 – 3{t_0}} \right)} \right]^2} = {\left( {1 + {t_0}} \right)^2} + {\left( {1 + 2{t_0}} \right)^2} + {\left( {2 – 3{t_0}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 + {t_0}} \right)x + \left( {1 + 2{t_0}} \right)y + \left( {2 – 3{t_0}} \right)z – 9 = 0\quad (*)\end{array}\)\(\)
Tương tự, tọa độ điểm \(B,C\) cũng thỏa mãn \((*)\). Hay nói cách khác, phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\left( {1 + {t_0}} \right)x + \left( {1 + 2{t_0}} \right)y + \left( {2 – 3{t_0}} \right)z – 9 = 0\)
Mặt khác vì \((ABC)\) đi qua \(D(1;1;2)\) nên
\(\left( {1 + {t_0}} \right) \cdot 1 + \left( {1 + 2{t_0}} \right) \cdot 1 + \left( {2 – 3{t_0}} \right) \cdot 2 – 9 = 0 \Leftrightarrow {t_0} = – 1.{\rm{ }}\)\(\)
Suy ra \(M(0; – 1;5)\). Vậy \(T = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 26\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời