[TÂN TÂY ĐÔ L8] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: [TÂN TÂY ĐÔ L8] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { – 10;10} \right)\) để phương trình\(f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) – 3 = m\) có nghiệm?

A. \(8\).

B. \(6\).

C. \(9\).

D. \(7\).

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Tự luận truyền thống

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x + 10}  \Rightarrow t = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9}  \Rightarrow t \ge 3\) 

Để phương trình \(f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) – 3 = m\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) = m + 3\)có nghiệm thì đường thẳng \(y = m + 3\) cắt đồ thị \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x \ge 3\). 

Từ đồ thị ta được \(m + 3 \le 2 \Leftrightarrow m \le  – 1\)

Mà \(m \in \left( { – 10;10} \right)\)\( \Rightarrow \) có 9 giá trị \(m\) thỏa mãn\( \Rightarrow \) Chọn 

C.

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 2x + 10}  \Rightarrow u = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9}  \Rightarrow u \ge 3\)

Khi đó \(u'(x) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 10} }} \Rightarrow u’ = 0 \Leftrightarrow x =  – 1\)

BBT của hàm số \(u\left( x \right)\):

Phương trình \(f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) – 3 = m\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) = m + 3\)\( \Leftrightarrow f\left( u \right) = m + 3\)

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và từ bảng biến thiên của hàm số \(u = \sqrt {{x^2} + 2x + 10} \) ta có bảng sau biến thiên của hàm hợp \(f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) = f(u)\) như sau:

Từ BBT:phương trình \(f\left( u \right) = m + 3\) với \(u \ge 3\) có nghiệm khi \(m + 3 \le 2 \Leftrightarrow m \le  – 1\)

Mà \(m \in \left( { – 10;10} \right)\)\( \Rightarrow \) có 9 giá trị \(m\) thỏa mãn

=======