PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP
Câu hỏi: [TÂN TÂY ĐÔ L8] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽCó bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { – 10;10} \right)\) để phương trình\(f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) – 3 = m\) có nghiệm?
A. \(8\).
B. \(6\).
C. \(9\).
D. \(7\).
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Tự luận truyền thống
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x + 10} \Rightarrow t = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \Rightarrow t \ge 3\)
Để phương trình \(f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) – 3 = m\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) = m + 3\)có nghiệm thì đường thẳng \(y = m + 3\) cắt đồ thị \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x \ge 3\).
Từ đồ thị ta được \(m + 3 \le 2 \Leftrightarrow m \le – 1\)
Mà \(m \in \left( { – 10;10} \right)\)\( \Rightarrow \) có 9 giá trị \(m\) thỏa mãn\( \Rightarrow \) Chọn
C.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 2x + 10} \Rightarrow u = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \Rightarrow u \ge 3\)
Khi đó \(u'(x) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 10} }} \Rightarrow u’ = 0 \Leftrightarrow x = – 1\)
BBT của hàm số \(u\left( x \right)\):
Phương trình \(f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) – 3 = m\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) = m + 3\)\( \Leftrightarrow f\left( u \right) = m + 3\)
Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và từ bảng biến thiên của hàm số \(u = \sqrt {{x^2} + 2x + 10} \) ta có bảng sau biến thiên của hàm hợp \(f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 10} } \right) = f(u)\) như sau:
Từ BBT:phương trình \(f\left( u \right) = m + 3\) với \(u \ge 3\) có nghiệm khi \(m + 3 \le 2 \Leftrightarrow m \le – 1\)
Mà \(m \in \left( { – 10;10} \right)\)\( \Rightarrow \) có 9 giá trị \(m\) thỏa mãn
=======
Trả lời