Đạo hàm

Đề bài: Tìm đạo hàm của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ Lời giải $y=\frac{ax+b}{cx+d} \Leftrightarrow y^{‘}=\frac{(ax+b)^{‘}(cx+d)-(ax+b)(cx+d)^{‘}}{(cx+d)^{2}}$  $=\frac{a(cx+d)-(ax+b)c}{(cx+d)^{2}} =\frac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$  Vậy $(\frac{ax+b}{cx+d})^{‘}=\frac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$

Đề bài: Tính đạo hàm theo cấp đã cho của hàm số sau:$f(x)=\sin 3x$$f^{"}(-\frac{\pi}{2}),f^{"}(0),f^{"}(\frac{\pi}{18})?$ Lời giải $f^{‘}(x)=3\cos x$$f^{“}(x)=-9\sin 3x$ Vậy $f^{“}(-\frac{\pi}{2})=-9\sin (-\frac{3\pi}{2})=-9$$f^{“}(0)=-9\sin 0=0$$f^{“}(\frac{\pi}{18})=-9\sin \frac{\pi}{6}=-\frac{9}{2}$

Đề bài: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số sau:   $y=-\frac{3}{x}$ tại $x_{0}=2$ Lời giải $y=f(x)=-\frac{3}{x}$* Cho $x_{0}=2$ một số gia $\Delta x$. Ta có$\triangle y=f(2+\Delta x)-f(2)$$=-\frac{3}{2+\Delta x}+\frac{3}{2}$ $=\frac{3\Delta x}{2(2+\Delta x)}$ *$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3}{2(2+\Delta x)}$ *$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{3}{2(2+\Delta x)}$ $=\frac{3}{4}$Vậy $f^{‘}(2)=\frac{3}{4}$

Đề bài: Chứng minh rằng:  $n.4^{n-1}C^0_n-(n-1)4^{n-2}C^1_n+(n-2)4^{n-1}C^2_n-…+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n$                                    $ = C^1_n + 4C^2_n+…+n.2^{n-1}C^n_n, \forall n \in  N$ Lời giải Xét $VT=n.4^{n-1}.C^{0}_{n}-(n-1).4^{n-2}C^{1}_{n}+(n-2).4^{n-3}C^{2}_{n}+…+(-1)^{n-1}.C^{n-1}_{n}    $ $SHTQ=(-1)^k(n-k).4^{n-(k+1)}.C^{k}_{n} $$=(n-k)(-1)^k.4^{n-(k+1)}. \frac{n!}{k!(n-k)!} $$=(-1)^k.n.4^{n-(k+1)}.\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} $$=(-1)^k.n. C^{k}_{n}.4^{n-(k+1)} $$VT= n   \left ( 4^{n-1}.C^{0}_{n-1} – 4^{n-2}C^{1}_{n-1}+4^{n-3}.C^{2}_{n-1} +…+ (-1)^{n-1}.C^{n-1}_{n-1}   \right ) $$=n   \left ( 4-1 \right ){n-1}=n.3^{n-1}(*) $Xét $VP=C^{1}_{n}+4 C^{2}_{n}+…+n.2^{n-1}.C^{n}_{n}   $$SHTQ= k.2^{k-1}.C^{k}_{n}=k.2^{n-1}\frac{n!}{k!(n-k)!}  $$=\frac{n.2^{k-1}.(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} $$VP=n   \left ( C^{0}_{n-1} +2 C^{1}_{n-1} […]

Đề bài: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: $f(x) = \begin{cases}x^2 \cos \frac{1}{x}  khi  x \neq  0  \\ 0   khi  x = 0\end{cases}$tại điểm $x_0 = 0$ Lời giải Hàm số $f(x)$ xác định trong một lân cận của $x_0=0$.Ta có :       $ f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f(x) […]

Đề bài: a)Chứng tỏ rằng nếu $y=\ln (x+{\sqrt{x^2+a^2}} ) $ thì $y'=\frac{1}{{\sqrt{x^2+a^2}} } $b)Sau đó tính : $I=\int\limits_{0}^{a}{\sqrt{x^2+a^2}} dx ; \forall a>0 $ Lời giải a)Xét : $y=f(x)=\ln (x+{\sqrt{x^2+a^2}} )$$y’=\frac{(x+{\sqrt{x^2+a^2}} )’}{x+{\sqrt{x^2+a^2}} }=\frac{1}{x+{\sqrt{x^2+a^2}} }(1+\frac{x}{{\sqrt{x^2+a^2}} } )  $      $=\frac{1}{x+{\sqrt{x^2+a^2}} }(\frac{{\sqrt{x^2+a^2}} +x}{{\sqrt{x^2+a^2}} } )=\frac{1}{{\sqrt{x^2+a^2}} }  (đpcm)$b)Đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u={\sqrt{x^2+a^2}}  \Rightarrow  du=\frac{x}{{\sqrt{x^2+a^2}} } \\ dv=dx \Rightarrow  v=x \end{array} […]