Đề bài: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: $f(x) = \begin{cases}x^2 \cos \frac{1}{x} khi x \neq 0 \\ 0 khi x = 0\end{cases}$tại điểm $x_0 = 0$
Lời giải
Hàm số $f(x)$ xác định trong một lân cận của $x_0=0$.
Ta có :
$ f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f(x) – f(0)}{x-0} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\cos \frac{1}{x}$.
Ta có :
* Với mọi $x \neq 0$ thuộc lân cận của điểm 0 luôn có :
$ | x \cos \frac{1}{x}| \leq |x| \Leftrightarrow – |x| \leq x. \cos \frac{1}{x} \leq |x|$.
* Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (-|x|) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} |x| = 0$.
Suy ra :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x. \cos \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow f'(0) = 0$.
Trả lời