📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho dãy số $(u_n)$ với số hạng tổng quát $u_n = \frac{2n – 1}{n + 1}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Khẳng định nào sau đây là đúng?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Tính đơn điệu của dãy số:
- Xét hiệu $H = u_{n+1} – u_n$: Nếu $H > 0$ với mọi $n \ge 1$ thì $(u_n)$ là dãy số tăng; nếu $H < 0$ với mọi $n \ge 1$ thì $(u_n)$ là dãy số giảm.
- Đối với dãy phân thức bậc nhất $u_n = \frac{an + b}{cn + d}$, có thể phân tích thành $u_n = \frac{a}{c} + \frac{bc – ad}{c(cn + d)}$ để đánh giá chiều biến thiên nhanh chóng.
- Tính bị chặn của dãy số:
- Dãy $(u_n)$ bị chặn dưới nếu tồn tại số $m$ sao cho $u_n \ge m, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
- Dãy $(u_n)$ bị chặn trên nếu tồn tại số $M$ sao cho $u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
- Dãy $(u_n)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xét tính tăng/giảm của dãy số $(u_n)$
Ta có: $$u_n = \frac{2n – 1}{n + 1} = \frac{2(n + 1) – 3}{n + 1} = 2 – \frac{3}{n + 1}$$
Xét hiệu giữa hai số hạng liên tiếp $u_{n+1}$ và $u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$:
$$u_{n+1} – u_n = \left(2 – \frac{3}{n + 2}\right) – \left(2 – \frac{3}{n + 1}\right) = \frac{3}{n + 1} – \frac{3}{n + 2} = \frac{3}{(n + 1)(n + 2)}$$
Vì $n \ge 1$ nên $(n + 1)(n + 2) > 0 \implies u_{n+1} – u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Do đó, dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.
Bước 2: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$
Với mọi số nguyên dương $n \ge 1$, ta có:
$$n + 1 \ge 2 \implies \frac{3}{n + 1} \le \frac{3}{2} \implies u_n = 2 – \frac{3}{n + 1} \ge 2 – \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$
Mặt khác, vì $n + 1 > 0$ nên $\frac{3}{n + 1} > 0$, do đó: $$u_n = 2 – \frac{3}{n + 1} < 2, \forall n \in \mathbb{N}^*$$
Như vậy: $$\frac{1}{2} \le u_n < 2, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$$
Dãy số $(u_n)$ vừa bị chặn dưới bởi $\frac{1}{2}$, vừa bị chặn trên bởi $2$, nên $(u_n)$ là dãy số bị chặn.
👉 Chọn đáp án: B
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \frac{3n – 1}{n + 2}$. Giá trị của số hạng $u_4$ bằng
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$$u_4 = \frac{3 \cdot 4 – 1}{4 + 2} = \frac{12 – 1}{6} = \frac{11}{6}$$
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \frac{n + 3}{n + 1}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Khẳng định nào sau đây là đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Xét hiệu: $$u_{n+1} – u_n = \left(1 + \frac{2}{n + 2}\right) – \left(1 + \frac{2}{n + 1}\right) = \frac{2}{n + 2} – \frac{2}{n + 1} = -\frac{2}{(n + 1)(n + 2)} < 0, \forall n \ge 1$$ Suy ra $(u_n)$ là dãy số giảm.
Với mọi $n \ge 1$, ta có $0 < \frac{2}{n + 1} \le 1 \implies 1 < u_n \le 2$. Do đó $(u_n)$ bị chặn.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 3: Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $n \ge 1 \implies n^2 + 2 \ge 3 \implies 0 < u_n \le \frac{1}{3}$.
Do đó dãy số $u_n = \frac{1}{n^2 + 2}$ bị chặn dưới bởi $0$ và bị chặn trên bởi $\frac{1}{3}$, tức là bị chặn.
Các dãy ở phương án A, B, D đều có giới hạn dần tới $+\infty$ khi $n \to +\infty$ nên không bị chặn trên.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 4: Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \frac{1}{n(n + 1)}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} : \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 2} < 1, \quad \forall n \ge 1$$ Do đó dãy $(u_n)$ là dãy số giảm.
Vì dãy giảm nên số hạng đầu tiên là lớn nhất: $u_n \le u_1 = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ với mọi $n \ge 1$.
Như vậy, dãy số bị chặn trên bởi $\frac{1}{2}$ (và bị chặn dưới bởi $0$).
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 5: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n^2 – 3n + 1$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Khẳng định nào sau đây là đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
$$u_{n+1} – u_n = \left[2(n + 1)^2 – 3(n + 1) + 1\right] – \left(2n^2 – 3n + 1\right)$$
$$= \left(2n^2 + 4n + 2 – 3n – 3 + 1\right) – \left(2n^2 – 3n + 1\right) = 4n – 1$$
Vì $n \ge 1 \implies 4n – 1 \ge 3 > 0$, do đó $u_{n+1} – u_n > 0, \forall n \ge 1$. Vậy $(u_n)$ là dãy tăng.
Vì $(u_n)$ tăng nên $u_n \ge u_1 = 2(1)^2 – 3(1) + 1 = 0, \forall n \ge 1$. Do đó $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $0$.
Khi $n \to +\infty$ thì $u_n \to +\infty$ nên dãy không bị chặn trên.
👉 Chọn đáp án: C
Để lại phản hồi