📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi công thức số hạng tổng quát $u_n = \frac{2n – 1}{n + 2}$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Xét tính tăng, giảm của dãy số:
Xét hiệu $H = u_{n+1} – u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$:
• Nếu $u_{n+1} – u_n > 0, \forall n \ge 1$ thì $(u_n)$ là dãy số tăng.
• Nếu $u_{n+1} – u_n < 0, \forall n \ge 1$ thì $(u_n)$ là dãy số giảm. - Xét tính bị chặn của dãy số:
• Dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới nếu tồn tại số $m$ sao cho $u_n \ge m, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
• Dãy số $(u_n)$ bị chặn trên nếu tồn tại số $M$ sao cho $u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
• Dãy số vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên được gọi là dãy số bị chặn: $m \le u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*$. - Mẹo biến đổi: Tách $u_n = \frac{2(n+2) – 5}{n+2} = 2 – \frac{5}{n+2}$ để dễ dàng đánh giá chiều biến thiên và tập giá trị khi $n$ tăng.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$.
Ta có số hạng tổng quát: $u_n = \frac{2n – 1}{n + 2} = \frac{2(n + 2) – 5}{n + 2} = 2 – \frac{5}{n + 2}$.
Số hạng kế tiếp $u_{n+1} = \frac{2(n + 1) – 1}{(n + 1) + 2} = \frac{2n + 1}{n + 3} = 2 – \frac{5}{n + 3}$.
Xét hiệu:
$$u_{n+1} – u_n = \left(2 – \frac{5}{n + 3}\right) – \left(2 – \frac{5}{n + 2}\right) = \frac{5}{n + 2} – \frac{5}{n + 3} = \frac{5}{(n + 2)(n + 3)}$$
Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên $(n + 2)(n + 3) > 0 \Rightarrow u_{n+1} – u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Do đó, $(u_n)$ là dãy số tăng.
Bước 2: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$.
Với mọi số tự nhiên $n \ge 1$:
• Do $n \ge 1$ nên $n + 2 \ge 3 \Rightarrow \frac{5}{n + 2} \le \frac{5}{3} \Rightarrow u_n = 2 – \frac{5}{n + 2} \ge 2 – \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$. Do đó $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $\frac{1}{3}$.
• Vì $n \ge 1$ nên $\frac{5}{n + 2} > 0 \Rightarrow u_n = 2 – \frac{5}{n + 2} < 2$. Do đó $(u_n)$ bị chặn trên bởi $2$.
Như vậy: $\frac{1}{3} \le u_n < 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Suy ra dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn.
Kết luận: Dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng và bị chặn.
👉 Chọn đáp án: B
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{3n + 1}{n + 1}$. Hỏi số $\frac{8}{3}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Giả sử số $\frac{8}{3}$ là số hạng thứ $n$ của dãy số ($n \in \mathbb{N}^*$). Ta có phương trình:
$$\frac{3n + 1}{n + 1} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow 3(3n + 1) = 8(n + 1) \Leftrightarrow 9n + 3 = 8n + 8 \Leftrightarrow n = 5$$
Vậy $\frac{8}{3}$ là số hạng thứ $5$ của dãy số ($u_5 = \frac{8}{3}$).
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 2: Trong các dãy số $(u_n)$ với $n \in \mathbb{N}^*$ cho dưới đây, dãy số nào là dãy số giảm?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Xét dãy số ở phương án B: $u_n = \frac{n + 2}{3n – 1}$.
Ta có: $u_{n+1} – u_n = \frac{n + 3}{3(n + 1) – 1} – \frac{n + 2}{3n – 1} = \frac{n + 3}{3n + 2} – \frac{n + 2}{3n – 1}$
$$= \frac{(n + 3)(3n – 1) – (n + 2)(3n + 2)}{(3n + 2)(3n – 1)} = \frac{(3n^2 + 8n – 3) – (3n^2 + 8n + 4)}{(3n + 2)(3n – 1)} = \frac{-7}{(3n + 2)(3n – 1)} < 0, \forall n \ge 1$$
Do đó dãy số $u_n = \frac{n + 2}{3n – 1}$ là dãy số giảm.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 3: Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \frac{1}{n(n + 1)}$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Với mọi số tự nhiên $n \ge 1$, ta có:
• $n(n + 1) > 0 \Rightarrow u_n = \frac{1}{n(n + 1)} > 0$, suy ra dãy số bị chặn dưới bởi $0$.
• $n \ge 1 \Rightarrow n + 1 \ge 2 \Rightarrow n(n + 1) \ge 2 \Rightarrow u_n = \frac{1}{n(n + 1)} \le \frac{1}{2}$, suy ra dãy số bị chặn trên bởi $\frac{1}{2}$.
Vậy $0 < u_n \le \frac{1}{2}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, do đó dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 4: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{n – 3}{n + 1}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có: $u_3 = \frac{3 – 3}{3 + 1} = \frac{0}{4} = 0$.
Biến đổi số hạng tổng quát: $u_n = \frac{n + 1 – 4}{n + 1} = 1 – \frac{4}{n + 1}$.
Xét hiệu: $u_{n+1} – u_n = \left(1 – \frac{4}{n + 2}\right) – \left(1 – \frac{4}{n + 1}\right) = \frac{4}{n + 1} – \frac{4}{n + 2} = \frac{4}{(n + 1)(n + 2)} > 0, \forall n \ge 1$.
Suy ra dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 5: Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \frac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Khẳng định nào sau đây là sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
• Với $n = 1$: $u_1 = \frac{2(1)^2 + 1}{1^2 + 3} = \frac{3}{4} \Rightarrow$ A đúng.
• Biến đổi: $u_n = \frac{2(n^2 + 3) – 5}{n^2 + 3} = 2 – \frac{5}{n^2 + 3}$.
Khi $n$ tăng thì $n^2 + 3$ tăng $\Rightarrow \frac{5}{n^2 + 3}$ giảm $\Rightarrow u_n = 2 – \frac{5}{n^2 + 3}$ tăng. Do đó $(u_n)$ là dãy số tăng $\Rightarrow$ B đúng.
• Vì $n \ge 1$ nên $\frac{5}{n^2 + 3} > 0 \Rightarrow u_n < 2, \forall n \ge 1$. Do đó $(u_n)$ bị chặn trên bởi $2 \Rightarrow$ C đúng.
Mặt khác, $u_n \ge u_1 = \frac{3}{4}$, nên $\frac{3}{4} \le u_n < 2, \forall n \ge 1$. Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn. Do đó khẳng định "Dãy số $(u_n)$ không bị chặn" là sai.
👉 Chọn đáp án: D
Để lại phản hồi