📌 Đề bài (Trắc nghiệm Đúng/Sai):
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi số hạng tổng quát $u_n = \frac{3n – 2}{n + 1}$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Xét tính đúng hoặc sai của các khẳng định sau:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Xác định số hạng: Thay giá trị $n$ cụ thể vào công thức $u_n$. Để kiểm tra một số $a$ có thuộc dãy số hay không, ta giải phương trình $u_n = a$ tìm $n \in \mathbb{N}^*$.
- Xét tính đơn điệu (tăng/giảm):
- Xét hiệu $u_{n+1} – u_n$: Nếu $u_{n+1} – u_n > 0\, \forall n \ge 1$ thì dãy số tăng; nếu $u_{n+1} – u_n < 0\, \forall n \ge 1$ thì dãy số giảm.
- Đối với dãy phân thức bậc nhất $u_n = \frac{an + b}{cn + d}$ với $cn + d > 0$: có thể biến đổi tách phần nguyên hoặc tính đạo hàm hàm số tương ứng $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ có $f'(x) = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$.
- Xét tính bị chặn: Dãy số $(u_n)$ bị chặn nếu tồn tại các hằng số $m, M$ sao cho $m \le u_n \le M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét mệnh đề a):
– Với $n = 1$: $u_1 = \frac{3(1) – 2}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.
– Với $n = 2$: $u_2 = \frac{3(2) – 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}$.
– Với $n = 3$: $u_3 = \frac{3(3) – 2}{3 + 1} = \frac{7}{4}$.
Vậy ba số hạng đầu là $\frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \frac{7}{4}$. Mệnh đề a) ĐÚNG.
Xét mệnh đề b):
Số hạng thứ $6$ tương ứng với $n = 6$:
$$u_6 = \frac{3(6) – 2}{6 + 1} = \frac{16}{7} \ne \frac{19}{8}$$
(Lưu ý: Nếu giải $\frac{3n – 2}{n + 1} = \frac{19}{8} \Leftrightarrow 8(3n – 2) = 19(n + 1) \Leftrightarrow 24n – 16 = 19n + 19 \Leftrightarrow 5n = 35 \Leftrightarrow n = 7$. Do đó $\frac{19}{8}$ là số hạng thứ $7$, không phải thứ $6$). Mệnh đề b) SAI.
Xét mệnh đề c):
Ta xét hiệu số hạng liên tiếp $u_{n+1} – u_n$ với $n \in \mathbb{N}^*$:
$$u_n = \frac{3(n + 1) – 5}{n + 1} = 3 – \frac{5}{n + 1}$$
$$u_{n+1} – u_n = \left(3 – \frac{5}{n + 2}\right) – \left(3 – \frac{5}{n + 1}\right) = \frac{5}{n + 1} – \frac{5}{n + 2} = \frac{5}{(n + 1)(n + 2)} > 0, \quad \forall n \ge 1$$
Do $u_{n+1} – u_n > 0$ nên dãy số $(u_n)$ là một dãy số tăng. Mệnh đề c) SAI.
Xét mệnh đề d):
Do $(u_n)$ là dãy số tăng nên với mọi $n \ge 1$, ta có $u_n \ge u_1 = \frac{1}{2}$.
Mặt khác, với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $\frac{5}{n + 1} > 0 \implies u_n = 3 – \frac{5}{n + 1} < 3$.
Suy ra $\frac{1}{2} \le u_n < 3$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Do đó dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $\frac{1}{2}$ và bị chặn trên bởi $3$, tức là dãy số bị chặn. Mệnh đề d) ĐÚNG.
👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai 4 ý a, b, c, d)
Bài tập 1: Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \frac{2n + 1}{n + 3}$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– a) Với $n = 1 \implies u_1 = \frac{2(1)+1}{1+3} = \frac{3}{4}$. (Đúng)
– b) Với $n = 5 \implies u_5 = \frac{2(5)+1}{5+3} = \frac{11}{8}$. (Đúng)
– c) Ta có $u_n = \frac{2(n+3)-5}{n+3} = 2 – \frac{5}{n+3}$. Do $\frac{5}{n+3}$ giảm dần khi $n$ tăng nên $u_n$ tăng dần. Do đó $(u_n)$ là dãy tăng. (Sai)
– d) Vì $\frac{5}{n+3} > 0$ nên $u_n = 2 – \frac{5}{n+3} < 2,\; \forall n \ge 1$. Do đó $(u_n)$ bị chặn trên bởi $2$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
Bài tập 2: Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \frac{1}{n(n + 1)}$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– a) $u_4 = \frac{1}{4(5)} = \frac{1}{20}$. (Đúng)
– b) Với mọi $n \ge 1$, $(n+1)(n+2) > n(n+1) > 0 \implies u_{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} < \frac{1}{n(n+1)} = u_n$, nên $(u_n)$ là dãy số giảm. (Sai)
– c) Vì $(u_n)$ giảm nên $u_n \le u_1 = \frac{1}{2}$. Rõ ràng $u_n > 0\; \forall n \in \mathbb{N}^*$, do đó $0 < u_n \le \frac{1}{2}$. (Đúng)
– d) Giải $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{90} \implies n(n+1) = 90 = 9 \times 10 \implies n = 9 \in \mathbb{N}^*$. Vậy $\frac{1}{90} = u_9$ thuộc dãy số. (Sai)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 3: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \frac{(-1)^n}{n + 1}$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– a) $u_1 = \frac{(-1)^1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$. (Đúng)
– b) Ta có $u_1 = -\frac{1}{2} < 0$, $u_2 = \frac{1}{3} > 0$, $u_3 = -\frac{1}{4} < 0$. Vì $u_1 < u_2$ nhưng $u_2 > u_3$ nên dãy số không tăng. (Sai)
– c) Các số hạng đan dấu nên dãy số không tăng và không giảm. (Đúng)
– d) Ta có $|u_n| = \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{2}$ với mọi $n \ge 1$, suy ra $-\frac{1}{2} \le u_n \le \frac{1}{2}$. Dãy số bị chặn. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 4: Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 2n^2 – 1$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– a) $u_3 = 2(3^2) – 1 = 2(9) – 1 = 17$. (Đúng)
– b) Xét $u_{n+1} – u_n = [2(n+1)^2 – 1] – [2n^2 – 1] = 2(2n + 1) = 4n + 2 > 0\; \forall n \ge 1$, nên dãy số tăng. (Đúng)
– c) Khi $n \to +\infty$, $u_n \to +\infty$ nên dãy số không bị chặn trên. (Sai)
– d) Vì dãy tăng nên $u_n \ge u_1 = 2(1)^2 – 1 = 1\; \forall n \ge 1$. Do đó dãy số bị chặn dưới bởi $1$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng
Bài tập 5: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n = \frac{4 – n}{n + 2}$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– a) Cho $u_n = 0 \Leftrightarrow \frac{4 – n}{n + 2} = 0 \Leftrightarrow n = 4 \in \mathbb{N}^*$. Vậy số hạng $u_4 = 0$. (Đúng)
– b) Ta có $u_n = \frac{-(n + 2) + 6}{n + 2} = -1 + \frac{6}{n + 2}$. Khi $n$ tăng thì $\frac{6}{n + 2}$ giảm, do đó $u_n$ giảm. Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm. (Sai)
– c) Vì dãy số $(u_n)$ giảm nên số hạng lớn nhất là $u_1 = \frac{4 – 1}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1$. (Đúng)
– d) Ta có $\frac{6}{n + 2} > 0 \implies u_n > -1$, và $u_n \le u_1 = 1$. Suy ra $-1 < u_n \le 1\; \forall n \in \mathbb{N}^*$. Dãy số $(u_n)$ bị chặn. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng
Để lại phản hồi