📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \frac{n – 1}{n + 2}$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Tính tăng, giảm của dãy số:
- Xét hiệu $H = u_{n+1} – u_n$: Nếu $H > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ thì dãy số $(u_n)$ tăng; nếu $H < 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ thì dãy số $(u_n)$ giảm.
- Đối với dãy phân thức bậc nhất $u_n = \dfrac{an + b}{cn + d}$ ($c > 0, cn + d > 0$): Biến đổi $u_n = \dfrac{a}{c} + \dfrac{bc – ad}{c(cn + d)}$ hoặc xét đạo hàm hàm số liên tục $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ trên $[1; +\infty)$ có $f'(x) = \dfrac{ad – bc}{(cx + d)^2}$. Dãy tăng khi $ad – bc > 0$ và giảm khi $ad – bc < 0$.
- Tính bị chặn của dãy số:
- Dãy $(u_n)$ bị chặn dưới nếu tồn tại số thực $m$ sao cho $u_n \ge m, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
- Dãy $(u_n)$ bị chặn trên nếu tồn tại số thực $M$ sao cho $u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
- Dãy $(u_n)$ bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ($m \le u_n \le M, \forall n \in \mathbb{N}^*$).
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xét tính tăng/giảm của dãy số $(u_n)$
Ta có $u_n = \dfrac{n – 1}{n + 2} = \dfrac{(n + 2) – 3}{n + 2} = 1 – \dfrac{3}{n + 2}$.
Khi đó số hạng kế tiếp là: $u_{n+1} = 1 – \dfrac{3}{(n + 1) + 2} = 1 – \dfrac{3}{n + 3}$.
Xét hiệu giữa hai số hạng liên tiếp:
$$u_{n+1} – u_n = \left(1 – \dfrac{3}{n + 3}\right) – \left(1 – \dfrac{3}{n + 2}\right) = \dfrac{3}{n + 2} – \dfrac{3}{n + 3} = \dfrac{3}{(n + 2)(n + 3)}$$
Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên $(n + 2)(n + 3) > 0 \implies u_{n+1} – u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Do đó, dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.
Bước 2: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$
Vì $n \ge 1$ nên:
- $n – 1 \ge 0$ và $n + 2 > 0 \implies u_n = \dfrac{n – 1}{n + 2} \ge 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$. Vậy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi số $0$ (với $u_1 = 0$).
- Đồng thời, vì $\dfrac{3}{n + 2} > 0$ nên $u_n = 1 – \dfrac{3}{n + 2} < 1, \forall n \in \mathbb{N}^*$. Vậy $(u_n)$ bị chặn trên bởi số $1$.
Từ hai điều trên, ta có $0 \le u_n < 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, nghĩa là dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn.
Kết luận: Dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng và bị chặn.
👉 Chọn đáp án: B
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \dfrac{2n + 3}{n + 1}$ với $n \in \mathbb{N}^*$. Khẳng định nào sau đây đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Xét hiệu: $u_{n+1} – u_n = \dfrac{1}{n + 2} – \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{-1}{(n + 1)(n + 2)} < 0, \forall n \in \mathbb{N}^* \implies (u_n)$ là dãy số giảm.
Mặt khác, với $n \ge 1$ thì $0 < \dfrac{1}{n + 1} \le \dfrac{1}{2}$, do đó $2 < u_n \le \dfrac{5}{2}$.
Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Mệnh đề nào sau đây đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta thấy $u_1 < u_2$ nhưng $u_2 > u_3$, suy ra dãy số $(u_n)$ không tăng và không giảm (dãy số đan dấu).
Mặt khác, với mọi $n \ge 1$, ta có $|u_n| = \dfrac{1}{n} \le 1 \implies -1 \le u_n \le \dfrac{1}{2} < 1$. Do đó dãy số $(u_n)$ bị chặn.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 3: Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 2n^2 – 1$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Khẳng định nào sau đây là đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Với $n \ge 1$, ta có $u_n = 2n^2 – 1 \ge 2(1)^2 – 1 = 1$, do đó dãy bị chặn dưới bởi số $1$.
Tuy nhiên, khi $n$ tăng vô hạn thì $u_n$ tiến tới $+\infty$, dãy không có chặn trên.
Vậy dãy số $(u_n)$ tăng và chỉ bị chặn dưới.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 4: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n}{n^2 + 1}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Khẳng định nào sau đây đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Với mọi $n \ge 1$, ta có $1 – n – n^2 < 0$, mẫu số luôn dương nên $u_{n+1} - u_n < 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$. Suy ra dãy số $(u_n)$ giảm.
Mặt khác, với mọi $n \ge 1$, ta có $0 < u_n = \dfrac{n}{n^2 + 1} \le \dfrac{1}{2}$ (vì $n^2 + 1 \ge 2n$). Do đó dãy số $(u_n)$ bị chặn.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 5: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \sqrt{n + 1} – \sqrt{n}$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Khẳng định nào sau đây là đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Khi $n$ tăng thì mẫu số $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ tăng ngặt, do đó $u_n$ giảm ngặt với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Suy ra dãy $(u_n)$ giảm.
Mặt khác, với mọi $n \ge 1$, ta có $0 < u_n \le u_1 = \sqrt{2} - 1$. Do đó dãy số $(u_n)$ bị chặn.
👉 Chọn đáp án: B
Để lại phản hồi