Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{3n – 2}{n + 1}$. Xét tính đúng hoặc sai của các khẳng định sau:

Xét mệnh đề a): Thay $n = 1$ vào công thức $u_n$ ta được:

$$u_1 = \frac{3(1) – 2}{1 + 1} = \frac{1}{2}.$$ Do đó mệnh đề a) là Đúng.

Xét mệnh đề b): Thay $n = 5$ vào công thức $u_n$ ta được:

$$u_5 = \frac{3(5) – 2}{5 + 1} = \frac{15 – 2}{6} = \frac{13}{6} \ne \frac{11}{6}.$$ Do đó mệnh đề b) là Sai.

Xét mệnh đề c): Ta có biểu thức $u_n = \frac{3(n + 1) – 5}{n + 1} = 3 – \frac{5}{n + 1}$.

Xét hiệu:

$$u_{n+1} – u_n = \left(3 – \frac{5}{n + 2}\right) – \left(3 – \frac{5}{n + 1}\right) = \frac{5}{n + 1} – \frac{5}{n + 2} = \frac{5}{(n + 1)(n + 2)}.$$

Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên $n \ge 1$, suy ra $(n + 1)(n + 2) > 0 \implies u_{n+1} – u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*$.

Vậy dãy số $(u_n)$ là một dãy số tăng, không phải dãy số giảm. Do đó mệnh đề c) là Sai.

Xét mệnh đề d):

Vì $(u_n)$ là dãy số tăng nên với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $u_n \ge u_1 = \frac{1}{2}$. Do đó dãy số bị chặn dưới bởi $\frac{1}{2}$.

Mặt khác, với mọi $n \ge 1$, ta có $\frac{5}{n + 1} > 0$, suy ra $u_n = 3 – \frac{5}{n + 1} < 3$. Do đó dãy số bị chặn trên bởi $3$.

Suy ra $\frac{1}{2} \le u_n < 3$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, tức dãy số $(u_n)$ bị chặn. Do đó mệnh đề d) là Đúng.

👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng