Đề bài: Chứng minh rằng hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho:$y=A\sin (\omega t+\varphi)+B\cos (\omega t+\varphi) $ thỏa mãn $y^{"}+\omega^{2} y=0$Trong đó $A,B,\omega ,\varphi$ là những hằng số Lời giải $y=A\sin (\omega t+\varphi)+B\cos (\omega t+\varphi) $ $y^{‘}=A\omega \cos (\omega t+\varphi)-B\omega \sin (\omega t+\varphi)$ $y^{“}=-A\omega^{2} \sin (\omega t+\varphi)-B\omega^{2}\cos (\omega t+\varphi)$ Ta có $VT=y^{“}+\omega^{2}y=-A\omega^{2} \sin (\omega […]
Đạo hàm
Đề: Tính đạo hàm của các hàm số:a) \(y=x^{3}(x^{2}+1)(x+1)\)b) \(y=(x^{2}+1)(x^{2}+2)(x^{2}+3)(x^{4}+4)\).
Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số:a) \(y=x^{3}(x^{2}+1)(x+1)\)b) \(y=(x^{2}+1)(x^{2}+2)(x^{2}+3)(x^{4}+4)\). Lời giải a) Đặt \(u=x^{3}, v=x^{2}+1, w=x+1\), theo quy tắc tính đạo hàm tích các hàm số, ta có:\(y’=(u.v.w)’=u’.v.w+u.v’.w+u.v.w’\)\(=3x^{2}(x^{2}+1)(x+1)+x^{3}(2x).(x+1)+x^{3}(x^{2}+1)\)\(=6x^{5}+5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}\).b) Làm tương tự câu a).\(y’=(x^{2}+1)'(x^{2}+2)(x^{2}+3)(x^{4}+4)+(x^{2}+1)(x^{2}+2)'(x^{2}+3)(x^{4}+4)\)\(+(x^{2}+1)(x^{2}+2)(x^{2}+3)'(x^{4}+4)+(x^{2}+1)(x^{2}+2)(x^{2}+3)(x^{4}+4)’\)\(=10x^{9}+48x^{7}+90x^{5}+120x^{3}+88x\).Ghi chú: Ta có thể khai triển biểu thức của \(y\) dưới dạng một đa thức\(y=x^{10}+6x^{8}+15x^{6}+30x^{4}+44x^{2}+24\).Lấy đạo hàm tổng trên ta […]
Đề: Tìm đạo hàm của hàm số $y=\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e}$
Đề bài: Tìm đạo hàm của hàm số $y=\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e}$ Lời giải $y=\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e}$ $ \Leftrightarrow y^{‘}=\frac{(ax^{2}+bx+c)^{‘}(dx+e)-(ax^{2}+bx+c)(dx+e)^{‘}}{(dx+e)^{2}}$ $=\frac{(2ax+b)(dx+e)-(ax^{2}+bx+c)d}{(dx+e)^{2}}$ $=\frac{adx^{2}+2aex+be-cd}{(dx+e)^{2}}$ Vậy $(\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e})^{‘}=\frac{adx^{2}+2aex+be-cd}{(dx+e)^{2}}$
Đề: Hàm số $y=|x-97|$ có đạo hàm tại $x=97$ không? Tại sao?
Đề bài: Hàm số $y=|x-97|$ có đạo hàm tại $x=97$ không? Tại sao? Lời giải Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(97+\Delta x)-f(97)}{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 $ $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(97+\Delta x)-f(97)}{\Delta x}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^+}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=1 $ Dễ thấy $f'(97^+)\neq f'(97^-)$ nên […]
Đề: Cho hàm số $y = \frac{{u(x)}}{{v(x)}}$. Chứng minh rằng nếu $y'({x_o}) = 0$ và $v'({x_o}) \ne 0$ thì ta có$\frac{{u'({x_o})}}{{v'({x_o})}} = \frac{{u({x_o})}}{{v({x_o})}}$
Đề bài: Cho hàm số $y = \frac{{u(x)}}{{v(x)}}$. Chứng minh rằng nếu $y'({x_o}) = 0$ và $v'({x_o}) \ne 0$ thì ta có$\frac{{u'({x_o})}}{{v'({x_o})}} = \frac{{u({x_o})}}{{v({x_o})}}$ Lời giải Ta có $y’ = \frac{{vu’ – uv’}}{{{v^2}}}$, do đó: $y'({x_o}) = 0 \Rightarrow v({x_o})u'({x_o}) – u({x_o})v'({x_o}) = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{{u({x_o})}}{{v({x_o})}} = \frac{{u'({x_o})}}{{v'({x_o})}}$
Đề: Tính đạo hàm của các hàm số:$1. F(x)=\int\limits_{2x}^{x^2}\frac{t^2dx}{\sqrt{t^2+1} } $$2. G(x)=\int\limits_{\sin^2x}^{\sin x^2}(\sin t^2+\cos2t)dt $
Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số:$1. F(x)=\int\limits_{2x}^{x^2}\frac{t^2dx}{\sqrt{t^2+1} } $$2. G(x)=\int\limits_{\sin^2x}^{\sin x^2}(\sin t^2+\cos2t)dt $ Lời giải 1. Ta biến đổi: $F(x)=\int\limits_{2x}^{0}\frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} }+\int\limits_{0}^{x^2}\frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} }=-\int\limits_{0}^{2x} \frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} }+\int\limits_{0}^{x^2}\frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} } $Từ đó suy ra: $F ‘(x)=(-2x)’.\frac{(2x)^2}{\sqrt{(2x)^2+1} }+(x^2);.\frac{(x^2)^2}{\sqrt{(x^2)^2+1} } =\frac{-8x^2}{\sqrt{4x^2+1} }+\frac{2x^5}{\sqrt{x^4+1} } $2. Ta biến đổi : $G(x)=\int\limits_{\sin^2x}^{0}(\sin t^2+\cos2t)dt+\int\limits_{0}^{\sin x^2}(\sin t^2+\cos2t)dt $ $=-\int\limits_{0}^{\sin^2x} (\sin t^2+\cos2t)dt+\int\limits_{0}^{\sin x^2}(\sin t^2+\cos2t)dt$Từ đó […]
Đề: Chứng minh rằng hàm số \(y = \sin ^6x + cos^6x + 3\sin ^2x\cos^2x + 2001x\) có đạo hàm không phụ thuộc vào $x$.
Đề bài: Chứng minh rằng hàm số \(y = \sin ^6x + cos^6x + 3\sin ^2x\cos^2x + 2001x\) có đạo hàm không phụ thuộc vào $x$. Lời giải Ta có: \(y = {\sin ^6}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right) + 2001x \)\(\begin{array}{l} = {\left( {{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^3} […]
Đề: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm với mọi \(x\) thuộc miền xác định. Chứng minh:a) Nếu \(f(x)\) là hàm số chẵn thì \(f'(x)\) là hàm số lẻ.b) Nếu \(f(x)\) là hàm số lẻ thì \(f'(x)\) là hàm số chẵn.
Đề bài: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm với mọi \(x\) thuộc miền xác định. Chứng minh:a) Nếu \(f(x)\) là hàm số chẵn thì \(f'(x)\) là hàm số lẻ.b) Nếu \(f(x)\) là hàm số lẻ thì \(f'(x)\) là hàm số chẵn. Lời giải a) Ta có: \(f'(-x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}\)(1)Vì […]
Đề: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:a) $y= \cos^3x$ b) $y= x^2 \sin x$ c) $y=\frac{2}{x-1} (x\neq 1) $
Đề bài: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:a) $y= \cos^3x$ b) $y= x^2 \sin x$ c) $y=\frac{2}{x-1} (x\neq 1) $ Lời giải a) $y’=-3 \cos^2x \sin x$ $y”= 6\cos x \sin^2 x -3\cos^3x=3\cos x(2\sin^2x-cos^2 x)$b) $y”=- x^2 \sin x+4x.\cos x+2\sin x$c) $y”= \frac{4}{(x-1)^3} $
Đề: Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \sin^2x\), từ đó suy ra đọa hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \cos^2x\)
Đề bài: Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \sin^2x\), từ đó suy ra đọa hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \cos^2x\) Lời giải Ta có:\(\begin{array}{l}\left( {\sin x} \right)’ = \cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\\\left( {\cos x} \right)’ =- {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = c{\rm{os}}\left( {x […]