Đạo hàm

Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số:a) \(y=x^{3}(x^{2}+1)(x+1)\)b) \(y=(x^{2}+1)(x^{2}+2)(x^{2}+3)(x^{4}+4)\). Lời giải a) Đặt \(u=x^{3}, v=x^{2}+1, w=x+1\), theo quy tắc tính đạo hàm tích các hàm số, ta có:\(y'=(u.v.w)'=u'.v.w+u.v'.w+u.v.w'\)\(=3x^{2}(x^{2}+1)(x+1)+x^{3}(2x).(x+1)+x^{3}(x^{2}+1)\)\(=6x^{5}+5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}\).b) Làm tương tự câu … [Đọc thêm...] vềĐề: Tính đạo hàm của các hàm số:a) \(y=x^{3}(x^{2}+1)(x+1)\)b) \(y=(x^{2}+1)(x^{2}+2)(x^{2}+3)(x^{4}+4)\).

Đề bài: Tìm đạo hàm của hàm số $y=\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e}$ Lời giải $y=\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e}$ $ \Leftrightarrow y^{'}=\frac{(ax^{2}+bx+c)^{'}(dx+e)-(ax^{2}+bx+c)(dx+e)^{'}}{(dx+e)^{2}}$ $=\frac{(2ax+b)(dx+e)-(ax^{2}+bx+c)d}{(dx+e)^{2}}$ $=\frac{adx^{2}+2aex+be-cd}{(dx+e)^{2}}$ Vậy $(\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e})^{'}=\frac{adx^{2}+2aex+be-cd}{(dx+e)^{2}}$ … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm đạo hàm của hàm số $y=\frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e}$

Đề bài: Hàm số $y=|x-97|$ có đạo hàm tại $x=97$ không? Tại sao? Lời giải Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(97+\Delta x)-f(97)}{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1  $$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(97+\Delta x)-f(97)}{\Delta x}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to … [Đọc thêm...] vềĐề: Hàm số $y=|x-97|$ có đạo hàm tại $x=97$ không? Tại sao?

Đề bài: Cho hàm số        $y = \frac{{u(x)}}{{v(x)}}$.  Chứng minh rằng nếu $y'({x_o}) = 0$ và $v'({x_o}) \ne 0$ thì ta có$\frac{{u'({x_o})}}{{v'({x_o})}} = \frac{{u({x_o})}}{{v({x_o})}}$ Lời giải Ta có     $y' = \frac{{vu' - uv'}}{{{v^2}}}$, do đó:  $y'({x_o}) = 0 \Rightarrow v({x_o})u'({x_o}) - u({x_o})v'({x_o}) = 0{\rm{  }} \Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số        $y = \frac{{u(x)}}{{v(x)}}$.  Chứng minh rằng nếu $y'({x_o}) = 0$ và $v'({x_o}) \ne 0$ thì ta có$\frac{{u'({x_o})}}{{v'({x_o})}} = \frac{{u({x_o})}}{{v({x_o})}}$

Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số:$1.  F(x)=\int\limits_{2x}^{x^2}\frac{t^2dx}{\sqrt{t^2+1} }  $$2. G(x)=\int\limits_{\sin^2x}^{\sin x^2}(\sin t^2+\cos2t)dt $ Lời giải 1. Ta biến đổi:    $F(x)=\int\limits_{2x}^{0}\frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} }+\int\limits_{0}^{x^2}\frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} }=-\int\limits_{0}^{2x} \frac{t^2dt}{\sqrt{t^2+1} … [Đọc thêm...] vềĐề: Tính đạo hàm của các hàm số:$1.  F(x)=\int\limits_{2x}^{x^2}\frac{t^2dx}{\sqrt{t^2+1} }  $$2. G(x)=\int\limits_{\sin^2x}^{\sin x^2}(\sin t^2+\cos2t)dt $

Đề bài: Chứng minh rằng hàm số \(y = \sin ^6x + cos^6x + 3\sin ^2x\cos^2x + 2001x\) có đạo hàm không phụ thuộc vào $x$. Lời giải Ta có: \(y = {\sin ^6}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right) + 2001x \)\(\begin{array}{l}  = {\left( {{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^3} + 2001x = 1 + … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng minh rằng hàm số \(y = \sin ^6x + cos^6x + 3\sin ^2x\cos^2x + 2001x\) có đạo hàm không phụ thuộc vào $x$.

Đề bài: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm với mọi \(x\) thuộc miền xác định. Chứng minh:a) Nếu \(f(x)\) là hàm số chẵn thì \(f'(x)\) là hàm số lẻ.b) Nếu \(f(x)\) là hàm số lẻ thì \(f'(x)\) là hàm số chẵn. Lời giải a) Ta có: \(f'(-x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}\)(1)Vì \(f(x)\) là hàm số chẵn nên \(f(-x+\Delta … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm với mọi \(x\) thuộc miền xác định. Chứng minh:a) Nếu \(f(x)\) là hàm số chẵn thì \(f'(x)\) là hàm số lẻ.b) Nếu \(f(x)\) là hàm số lẻ thì \(f'(x)\) là hàm số chẵn.

Đề bài: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:a)  $y=  \cos^3x$               b)  $y=  x^2 \sin x$              c)  $y=\frac{2}{x-1}   (x\neq 1) $ Lời giải a)  $y'=-3 \cos^2x \sin x$     $y''=  6\cos x \sin^2 x -3\cos^3x=3\cos x(2\sin^2x-cos^2 x)$b) $y''=-  x^2 \sin x+4x.\cos x+2\sin x$c) $y''=  \frac{4}{(x-1)^3} $ … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:a)  $y=  \cos^3x$               b)  $y=  x^2 \sin x$              c)  $y=\frac{2}{x-1}   (x\neq 1) $

Đề bài: Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \sin^2x\), từ đó suy ra đọa hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \cos^2x\) Lời giải Ta có:\(\begin{array}{l}\left( {\sin x} \right)' = \cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\\\left( {\cos x} \right)' =- {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\end{array}\)Do đó: \(\begin{array}{l}y … [Đọc thêm...] vềĐề: Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \sin^2x\), từ đó suy ra đọa hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \cos^2x\)

Đề bài: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau trên khoảng xác định của nóa) $y = x \ln x $;                                                             b) $y = \ln (x^2 + x + 1)$c) $y = \log_2 (x^2 +e^x)$;                                              d) $y = \ln \sqrt{ x^2 + 2008} $ Lời giải a) $y' = x'\ln x + (\ln x)'x = \ln x + \frac{1}{x}. x = \ln x + 1 $b) $y' = \frac{(x^2 … [Đọc thêm...] vềĐề: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau trên khoảng xác định của nóa) $y = x \ln x $;                                                             b) $y = \ln (x^2 + x + 1)$c) $y = \log_2 (x^2 +e^x)$;                                              d) $y = \ln \sqrt{ x^2 + 2008} $