Đề bài: Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \sin^2x\), từ đó suy ra đọa hàm cấp $n$ của hàm số \(y = \cos^2x\)
Lời giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {\sin x} \right)’ = \cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\\
\left( {\cos x} \right)’ =- {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
y = {\sin ^2}x = \frac{1}{2}\left( {1 – c{\rm{os}}2x} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin \left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right)} \right) \\\Rightarrow y’ = \frac{1}{2}.2\sin \left( {2x – \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin 2x\\
y” = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\,\\y”’ = {2^2}\sin \left( {2x + 2.\frac{\pi }{2}} \right)\\
{y^(n)} = {2^{n – 1}}.\sin \left( {2x + \left( {n – 1} \right).\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)
Vì \({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1 \) là hằng số nên:
${(\cos^2 x)^(n)} = – {2^{n – 1}}.\sin \left( {2x + \left( {n – 1} \right).\frac{\pi }{2}} \right)$
Trả lời