Đề bài: Gọi \( x_{1},x_{2} \) là các nghiệm của phương trình \(x^{2}+2kx+a^{2}=0 (a\neq 0) \)Định k để \( \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2}\geq5 \) Lời giải Đề bài: Gọi \( x_{1},x_{2} \) là các nghiệm của phương trình \(x^{2}+2kx+a^{2}=0 (a\neq 0) \)Định k để \( \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2}\geq5 \) Lời giải Trong phương trình \(x^{2}+2kx+a^{2}=0 \) \( \Delta’=k^{2} -a^{2}. […]
Các dạng bất đẳng thức khác
Đề bài: Cho $a,b,c\in (0,1)$, chứng minh rằng ít nhất một trong cách bất đẳng thức sau là sai: $a(1-b)>\frac{1}{4},b(1-c)>\frac{1}{4},c(1-a)>\frac{1}{4}$.
Đề bài: Cho $a,b,c\in (0,1)$, chứng minh rằng ít nhất một trong cách bất đẳng thức sau là sai: $a(1-b)>\frac{1}{4},b(1-c)>\frac{1}{4},c(1-a)>\frac{1}{4}$. Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c\in (0,1)$, chứng minh rằng ít nhất một trong cách bất đẳng thức sau là sai: $a(1-b)>\frac{1}{4},b(1-c)>\frac{1}{4},c(1-a)>\frac{1}{4}$. Lời giải Giả sử trái lại cả ba bất đẳng thức đều đúng, […]
Đề bài: Chứng minh rằng: $(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\geq \frac{4}{27}(3xy+3yz+3zx)^2 (1) $ trong đó $x,y,z$ là các số thực.
Đề bài: Chứng minh rằng: $(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\geq \frac{4}{27}(3xy+3yz+3zx)^2 (1) $ trong đó $x,y,z$ là các số thực. Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng: $(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\geq \frac{4}{27}(3xy+3yz+3zx)^2 (1) $ trong đó $x,y,z$ là các số thực. Lời giải Ta biến đổi $(1)$ tương đương:$3[x^2y^2z^2+3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+9(x^2+y^2+z^2)+27]$ $\geq 4(xy+yz+zx)^2 (2)$hay $243(a^2-2b)+81(b^2-2ca)+23c^2+27^2\geq 36b^2+24bc (3)$Trong đó: $\begin{cases}x+y+z=a \\ […]
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có: $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có: $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có: $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$ Lời giải Ta có : […]
Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3 \\ y^{2} +yz+z^{2}=16 \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$
Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3 \\ y^{2} +yz+z^{2}=16 \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$ Lời giải Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3 \\ y^{2} +yz+z^{2}=16 \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$ Lời […]
Đề bài: Cho $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t \geq \frac{10}{3}\end{cases}$Chứng minh rằng: $ x,y,z,t \in [0;\frac{\pi}{6}]$
Đề bài: Cho $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t \geq \frac{10}{3}\end{cases}$Chứng minh rằng: $ x,y,z,t \in [0;\frac{\pi}{6}]$ Lời giải Đề bài: Cho $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t \geq \frac{10}{3}\end{cases}$Chứng minh rằng: $ x,y,z,t \in [0;\frac{\pi}{6}]$ Lời giải Đặt : $a=\sin x, b=\sin […]
Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$
Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$ Lời giải Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$ Lời giải $\forall x \in [0,1]$,ta có: $0\leq f(x),g(x)\leq 1$Suy ra: $\begin{cases}0\leq f(x).g(x)\leq f(x) \\ 0\leq f(x).g(x)\leq g(x) \end{cases}$$\Rightarrow \begin{cases}0\leq \int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx\leq \int\limits_{0}^{1}f(x)dx \\ 0\leq \int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx\leq \int\limits_{0}^{1}g(x)dx \end{cases}$Nhân $2$ vế BĐT này […]
Đề bài: Cho $\begin{cases}0
Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải a)Vì $x\leq y\leq z$, $0 nên:$\frac{x+y}{2}-px-qy=x(\frac{1}{2}-p)+y(\frac{1}{2}-q)$$\leq z(\frac{1}{2}-p)+z(\frac{1}{2}-q)=z(1-p-q)\leq z.r$$\Rightarrow px+qy+rz\geq \frac{x+y}{2}$b)Vì: vai trò $x,y,z$ như nhau,nên ta có thể xem: $x\leq y\leq z$,theo câu a:$px+qy+rz\geq \frac{x+y}{2}$Hơn nữa:$x+y=(x+y)[(x+y)+z]^{2}\geq (x+y).4(x+y).z$$=4.z(x+y)^{2}\geq 4z.4xy=16xyz$Vậy: $px+qy+rz\geq 8xyz$ ========= Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:$1,71
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:$1,71 Lời giải Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:$1,71 Lời giải Đặt $S_n=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+…+\frac{1}{n!}$. Với $ n=5$ thì $S_5=\frac{143}{60}$ nên $1,71Ngoài ra $S_n\geq S_5=\frac{143}{60}>1,71$.Vậy, bất đẳng thức thứ nhất đã được chứng minh.Bây giờ ta đi chứng minh bất đẳng thức còn lại, thật vậy: $\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}+…+\frac{1}{n!}$$=\frac{1}{6!}-\frac{1}{7!}+\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}-\frac{1}{8!}+…+\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}=\frac{1}{6!}-\frac{1}{n!}Từ đó suy ra […]
Đề bài: Cho $n$ số thực $a_{1}, a_2, …,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn: $a_{1}^3+ a_2^3+…a_n^3=0$.Chứng minh rằng $a_{1}+ a_2+…a_n\leq \frac{n}{3}$
Đề bài: Cho $n$ số thực $a_{1}, a_2, …,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn: $a_{1}^3+ a_2^3+…a_n^3=0$.Chứng minh rằng $a_{1}+ a_2+…a_n\leq \frac{n}{3}$ Lời giải Đề bài: Cho $n$ số thực $a_{1}, a_2, …,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn: $a_{1}^3+ a_2^3+…a_n^3=0$.Chứng minh rằng $a_{1}+ a_2+…a_n\leq \frac{n}{3}$ Lời giải Nhận xét rằng: $4a^3-3a+1=(a+1)(4a^2-4a+1)=(a+1)(2a-1)^2\geq 0, \forall a\in [-1,1]$.Từ đó […]