(Sở Vĩnh Phúc 2022) Một người thợ cần thiết kế một bể cá hình hộp chữ nhật bằng kính, có chiều cao là \(0,8m\), thể tích \(576d{m^3}\). Biết rằng phần nắp phía trên của bể cá người thợ đó để trống một ô có diện tích bằng \(30\% \) diện tích đáy bể. Biết rằng loại kính mà người thợ sử dụng làm mặt bên và nắp bể có giá thành \(1000000\) đồng/m² và kính để làm mặt đáy có giá thành \(1200000\) đồng/m². Giả sử phần tiếp xúc giữa các mặt là không đáng kể. Số tiền mua kính ít nhất để hoàn thành bể cá gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. \(4,1\) triệu đồng.

B. \(3,2\) triệu đồng.

C. \(2,8\) triệu đồng.

D. \(3,8\) triệu đồng.

Lời giải:

Chọn A

Đặt \(x,\,y\left( m \right)\left( {x,\,y > 0} \right)\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của đáy bể cá.

Ta có: \(V = x.y.h = 0,8xy = 0,576\left( {{m^3}} \right) \Rightarrow y = \frac{{18}}{{25x}}\).

Số tiền cần để mua kính là: \(\left[ {2.0,8\left( {x + y} \right) + \frac{{70}}{{100}}xy} \right].1 + xy.1,2\)

\( = 1,6x + \frac{{144}}{{125x}} + \frac{{171}}{{125}} = f\left( x \right)\) (triệu đồng).

Ta có: \(f’\left( x \right) = 1,6 – \frac{{144}}{{125{x^2}}} = \frac{{200{x^2} – 144}}{{125{x^2}}};f’\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{{3\sqrt 2 }}{5}\left( m \right)\).

Lập BBT của hàm \(f\left( x \right)\), ta thấy \(\min f\left( x \right) = f\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{5}} \right) \approx 4,1\) triệu đồng.