(Sở Thanh Hóa 2022) Cho hàm số bậc bốn \(f(x)\) có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ:
Số điểm cực tiểu của hàm số \(g(x) = 4f\left( {{x^2} – 4} \right) + {x^4} – 8{x^2}\) là
A. 4.
B. 7.
C. 3.
D. 5.
Lời giải:
Có \(g\prime (x) = 8xf\prime \left( {{x^2} – 4} \right) + 4{x^3} – 16x = 8x\left( {f\prime \left( {{x^2} – 4} \right) + \frac{{{x^2} – 4}}{2}} \right)\).
Xét \(f\prime (x) + \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow f\prime (x) = – \frac{x}{2} \Leftrightarrow x = – 2;x = 0;x = 4\). Suy ra \(f\prime (x) + \frac{x}{2}\) là đa thức bậc ba có 3 nghiệm là \(x = – 2;x = 0;x = 4\) nên \(f\prime (x) + \frac{x}{2} = a(x + 2)x(x – 4),\left( {a > 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\prime (x) = + \infty } \right)\).
Do đó \(g\prime (x) = 8ax\left( {{x^2} – 4 + 2} \right)\left( {{x^2} – 4} \right)\left( {{x^2} – 4 – 4} \right) = 8ax\left( {{x^2} – 2} \right)\left( {{x^2} – 4} \right)\left( {{x^2} – 8} \right)\) đổi dấu tử âm sang dương khi qua các điểm \(x = – 2\sqrt 2 ;x = – \sqrt 2 ;x = \sqrt 2 ;x = 2\sqrt 2 \) nên \(g(x)\) có 4 điểm cực tiểu.
Trả lời