(Sở Thái Nguyên 2022) Cho hàm số \(f(x) = {\log _3}x + {3^x} – {3^{\frac{1}{x}}}\). Tổng bình phương các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\frac{1}{{4|x – m| + 3}}} \right) + f\left( {{x^2} – 4x + 7} \right) = 0\) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt bằng

A. 14.

B. 13.

C. 10.

D. 5.

Lời giải:

Chọn A

Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 3}} + {3^x} \cdot \ln 3 + \frac{1}{{{x^2}}} \cdot {3^{\frac{1}{x}}} \cdot \ln 3 > 0,\forall x > 0\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\left( 1 \right)\).

Mặt khác \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {\log _3}\frac{1}{x} + {3^{\frac{1}{x}}} – {3^x} = – \left( {{{\log }_3}x – {3^{\frac{1}{x}}} + {3^x}} \right) = – f\left( x \right)\), khi đó

\(f\left( {\frac{1}{{4|x – m| + 3}}} \right) + f\left( {{x^2} – 4x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow – f(4|x – m| + 3) + f\left( {{x^2} – 4x + 7} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow f\left( {4|x – m| + 3} \right) = f\left( {{x^2} – 4x + 7} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow 4\left| {x – m} \right| + 3 = {x^2} – 4x + 7 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4m = – {x^2} + 8x – 4}\\{4m = {x^2} + 4}\end{array}} \right.\).

Ta có đồ thị sau:

Theo yêu cầu bài toán tương đương \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4m = 4}\\{4m = 8}\\{4m = 12}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = 2}\\{m = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \({1^2} + {2^2} + {3^2} = 14\).