(Sở Ninh Bình 2022) Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(1 < a < b \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3{\log _a}\left( {{b^2} + 16b – 16} \right) + \frac{{16}}{{27}} \cdot \log _{\frac{b}{a}}^3a\).

A. 8.

B. 18.

C. 9.

D. 17.

Lời giải:.

Ta có \({\log _{\frac{b}{a}}}a = \frac{1}{{{{\log }_a}\frac{b}{a}}} = \frac{1}{{{{\log }_a}b – 1}}.\)\(\)(1)

Với \(b \in (1;4]\) ta có

\(\begin{array}{l}(b – 1)\left( {{b^2} – 16} \right) \le 0 \Leftrightarrow {b^3} – {b^2} – 16b + 16 \le 0 \Leftrightarrow {b^3} \le {b^2} + 16b – 16 \Leftrightarrow {\log _a}\left( {{b^2} + 16b – 16} \right) \ge {\log _a}{b^3}\\ \Leftrightarrow {\log _a}\left( {{b^2} + 16b – 16} \right) \ge 3{\log _a}b\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2), ta có

\(P = 3{\log _a}\left( {{b^2} + 16b – 16} \right) + \frac{{16}}{{27}} \cdot \log _{\frac{b}{a}}^3a \ge 9{\log _a}b + \frac{{16}}{{27}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {{{\log }_a}b – 1} \right)}^3}}}.\)\(\)

Đặt \(t = {\log _a}b > 1\), ta có

\(P \ge 3(t – 1) + 3(t – 1) + 3(t – 1) + \frac{{16}}{{27}} \cdot \frac{1}{{{{(t – 1)}^3}}} + 9\)

\( \ge 4\sqrt[4]{{27 \cdot {{(t – 1)}^3} \cdot \frac{{16}}{{27}} \cdot \frac{1}{{{{(t – 1)}^3}}}}} + 9 = 17.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}b = 4\\3(t – 1) = \frac{{16}}{{27}} \cdot \frac{1}{{{{(t – 1)}^3}}}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}b = 4\\{(t – 1)^4} = \frac{{16}}{{81}}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}b = 4\\t = \frac{5}{3}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}b = 4 \\log{ _b}a = \frac{3}{5}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a = {4^{\frac{3}{5}}}\\b = 4\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.\)Vậy \(\min P = 17\).