(Sở Lạng Sơn 2022) Biết rằng tập tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(m\left( {x + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 2} = 5{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} + 24\) có bốn nghiệm thực phân biệt là khoảng \(\left( {a;\,\,b} \right)\). Giá trị \(a + b\) bằng

A. \(\frac{{28}}{3}\).

B. \(\frac{{25}}{3}\).

C. \(4\).

D. \(9\).

Lời giải:

Chọn B

Ta có: \(m\left( {x + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 2} = 5{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} + 24\)\( \Leftrightarrow m\left( {x + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 2} = {\left( {x + 4} \right)^2} + 4\left( {{x^2} + 2} \right)\) (1).

*) Với \(x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = – 4\).

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} + 2} \right) = 0\) vô nghiệm.

*) Với \(x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne – 4\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = \frac{{{{\left( {x + 4} \right)}^2} + 4\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }} \Leftrightarrow m = \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} + \frac{{4\sqrt {{x^2} + 2} }}{{\left( {x + 4} \right)}}{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}\)

\(f’\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} – \left( {x + 4} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }}}}{{{x^2} + 2}} = \frac{{2 – 4x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}\)

\(f’\left( x \right) = 0 \Rightarrow 2 – 4x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\)

Từ bảng biến thiên ta được điều kiện của \(t\) là \( – 1 < t \le 3\)

Vậy để có 2 nghiệm \(x\) ứng với 1 giá trị \(t\) thì \(1 < t < 3\)

\(\left( 2 \right)\) suy ra \(m = t + \frac{4}{t},\,\,t \in \left( {1;3} \right)\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = t + \frac{4}{t}\) trên \(\left( {1;3} \right)\).

\(g’\left( t \right) = 1 – \frac{4}{{{t^2}}}\); \(g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2{\rm{(n)}}\\t = – 2{\rm{(l)}}\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên thu gọn

Từ BBT để phương trình (1) có 4 nghiệm thực thì \(4 < m < \frac{{13}}{3}\). Nên \(a = 4;\,\,b = \frac{{13}}{3}\).

Vậy \(a + b = \frac{{25}}{3}\).