(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(y = f(1 – x)\) như hình vë bên:

Số giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( {\frac{{1 – x}}{{x + 2}}} \right) – \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} + m = 0\) có 4 nghiệm phân biệt là

A. 3.

B. 4.

C. 2.

D. 5.

Lời giải:

Đặt \(\frac{{1 – x}}{{x + 2}} = 1 – t \Leftrightarrow t = 1 – \frac{{1 – x}}{{x + 2}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\). Phương trình trở thành \(f(1 – t) – t + m = 0 \Leftrightarrow f(1 – t) = t – m(*)\).

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có 4 nghiệm phân biệt.

Điều này tương đương với đồ thị của hai hàm số \((C):y = f(1 – x);d:y = x – m\) cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.

Chú ý đường thẳng \(y = x – m\) qua hai điểm \((m;0);(0; – m)\) và song song hoặc trùng với đường thẳng \(y = x\).

Vẽ đường thẳng \(d:y = x – m\) trên cùng hệ trục toạ độ với đồ thị \((C)\) như hình vẽ:

Từ đồ thị suy ra \(d \cap \left( C \right)\) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi \( – 2 < m < 2 \Rightarrow m \in \left\{ { – 1;0;1} \right\}\)