(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có \(f\prime (1) = 3\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) và \([ – 10;10]\) để phương trình \(\ln \frac{{\dot f(x)}}{{3m{x^2}}} + x[f(x) – 3mx] = 3m{x^3} – f(x)\) có hai nghiệm dương phân biệt?

A. 18.

B. 9.

C. 10.

D. 15.

Lời giải:.

Do yêu cầu bài toán là phương trình có hai nghiệm dương phân biệt nên ta chỉ xét \(x > 0\). Giả sử \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Vi đồ thị đi qua các điểm \(A\left( { – \frac{5}{4};\frac{{131}}{{64}}} \right),B(0;4),C(1;5)\) nên ta có

\(\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} – \frac{{125}}{{64}}a + \frac{{25}}{{16}}b – \frac{5}{4}c + d = \frac{{131}}{{64}}\\d = 4\\a + b + c + d = 5\end{array}\end{array}} \right.\)\(\)(1)

Ta có \(f\prime (1) = 3 \Leftrightarrow 3a + 2b + c = 3\).(2)

Từ (1) và (2) ta có \(a = 1,b = 0,c = 0,d = 4\), suy ra \(f(x) = {x^3} + 4\).

Điều kiện \(\frac{{f(x)}}{{3m{x^2}}} > 0 \Rightarrow m > 0\).

\(\begin{array}{l}\ln \frac{{f(x)}}{{3m{x^2}}} + x[f(x) – 3mx] = 3m{x^3} – f(x)\\ \Leftrightarrow \ln f(x) – \ln \left( {3m{x^2}} \right) + x\left[ {f\left( {x – 3m{x^2}} \right)} \right] + f(x) – 3m{x^2} = 0\end{array}\)\(\)

Nếu \(f(x) > m{x^2}\) thì \(\log f(x) > \log \left( {m{x^2}} \right)\) và \(xf(x) > x\left( {m{x^2}} \right),\forall x > 0 \Rightarrow \) (3) vô nghiệm.

Tương tự nếu \(f(x) < m{x^2}\) thì phương trình (3) vô nghiệm.

Do đó \(f(x) = 3m{x^2} \Leftrightarrow {x^3} + 4 = 3m{x^2} \Leftrightarrow \frac{{{x^3} + 4}}{{3{x^2}}} = m\), vì \(x > 0\).

Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^3} + 4}}{{3{x^2}}}\) với \(x > 0\).

\(g\prime (x) = \frac{{3{x^4} – 24x}}{{9{x^4}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 0\\x = 2.\end{array}\end{array}} \right.\)\(\)

Vì \(x > 0\) nên ta nhận \(x = 2\). Ta có bảng biến thiên

Để phương trình \(\frac{{{x^3} + 4}}{{3{x^2}}} = m\) có hai nghiệm dương phân biệt thì \(m > 1\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in [ – 10;10]\) nên \(m \in \{ 2;3; \ldots ;10\} \). Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả yêu cầu bài toán.