(Sở Bắc Giang 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Đặt \(g(x) = f\left( {\sqrt {{x^2} – 4x + 6} } \right) – 2\left( {{x^2} – 4x} \right)\sqrt {{x^2} – 4x + 6} – 12\sqrt {{x^2} – 4x + 6} + 1\). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x)\) trên đoạn \([1;4]\) bằng
A. \(12 – 2\sqrt 4 \).
B. \( – 12 – 12\sqrt 6 \).
C. \( – 12 – 2\sqrt 4 \).
D. \(12 – 12\sqrt 6 \).
Lời giải:
Từ đồ thị suy ra \(f(x) = {x^4} – 2{x^2} – 3 \Rightarrow f\prime (x) = 4{x^3} – 4x\)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} – 4x + 6} ,x \in [1;4] \Rightarrow t \in [\sqrt 2 ;\sqrt 6 ]\).
Ta có: \(g(x) = f\left( {\sqrt {{x^2} – 4x + 6} } \right) – 2\left( {{x^2} – 4x + 6} \right)\sqrt {{x^2} – 4x + 6} + 1\)
Suy ra hàm số đã cho trở thành
\(\begin{array}{l}h(t) = f(t) – 2{t^3} + 1 \Rightarrow h\prime (t) = f\prime (t) – 6{t^2}\\h(t) = 0 \Leftrightarrow f\prime (t) – 6{t^2} = 0 \Leftrightarrow 4{t^3} – 6{t^2} – 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \notin (\sqrt 2 ;\sqrt 6 )\\t = – \frac{1}{2} \notin (\sqrt 2 ;\sqrt 6 )\\t = 2 \in (\sqrt 2 ;\sqrt 6 )\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}h(\sqrt 2 ) = f(\sqrt 2 ) – 2 \cdot {(\sqrt 2 )^3} + 1 = – 2 – 4\sqrt 2 \\h(2) = f(2) – 2 \cdot {(2)^3} + 1 = – 10\\h(\sqrt 6 ) = f(\sqrt 6 ) – 2 \cdot {(\sqrt 6 )^3} + 1 = 22 – 12\sqrt 6 \end{array}\)\(\)
Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(h(t)\) trên đoạn \([\sqrt 2 ;\sqrt 6 ]\) lần lượt là \(22 – 12\sqrt 6 \) và \( – 10\).
Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(g(x)\) trên \([1;4]\) là tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(h(t)\) trên \([\sqrt 2 ;\sqrt 6 ]\) và bằng \(12 – 12\sqrt 6 \).
Trả lời