(Sở Bắc Giang 2022) Biết rằng \(f(0) = 0\). Hỏi hàm số \(g(x) = \left| {f\left( {{x^6}} \right) – {x^3}} \right|\) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. \(2.\)

B. \(4.\)

C. 3.

D. \(1.\)

Lời giải:

\(h(x) = f\left( {{x^6}} \right) – {x^3} \Rightarrow h\prime (x) = 6{x^5}f\prime \left( {{x^6}} \right) – 3{x^2} = 3{x^2}\left( {2{x^3}f\prime \left( {{x^6}} \right) – 1} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 0}\\{2{x^3}f\prime \left( {{x^6}} \right) – 1 = 0}\end{array}} \right.\)

Đặt: \(u(x) = 2{x^3}f\prime \left( {{x^6}} \right) – 1 \Rightarrow u\prime (x) = 6{x^2}f\prime \left( {{x^6}} \right) + 12{x^8}f\prime \prime \left( {{x^6}} \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

(Từ đồ thị ta có \({x^6} \ge 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\prime \left( {{x^6}} \right) > 0}\\{f\prime \prime \left( {{x^6}} \right) > 0}\end{array}} \right.\) do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6{x^2}f\prime \left( {{x^6}} \right) \ge 0}\\{12{x^8}f\prime \prime \left( {{x^6}} \right) \ge 0}\end{array}} \right.,\forall x \in \mathbb{R})\)

Nên \(u(x) = 2{x^3}f\prime \left( {{x^6}} \right) – 1\) đồng biến và liên tục trên \(\mathbb{R}\)

(do \(f(x)\) là hàm đa thức \( \Rightarrow u(x)\) là hàm đa thức) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } u(x) = – \infty }\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } u(x) = + \infty }\end{array}} \right.\)

suy ra phương trình \(u(x) = 2{x^3}f\prime \left( {{x^6}} \right) – 1 = 0\) có nghiệm duy nhất.

Giả sử \(2{x^3}f\prime \left( {{x^6}} \right) – 1 = 0 \Leftrightarrow {x^3}f\prime \left( {{x^6}} \right) = \frac{1}{2}\) có nghiệm là \({x_0}\)(do \(\left. {f\prime \left( {x_0^6} \right) > 0} \right) \Rightarrow x_0^3 > 0 \Rightarrow {x_0} > 0\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) có 1 điểm cực đại.