Người ta dùng dụng cụ đựng quà có dạng một hình nón để đựng phần quà là một quả cầu pha lê có bán kính \(R = 1\). Biết rằng quả cầu tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích dụng cụ đựng quà hình nón đó.

DẠNG TOÁN KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – THỂ TÍCH HÌNH TRÒN XOAY – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Người ta dùng dụng cụ đựng quà có dạng một hình nón để đựng phần quà là một quả cầu pha lê có bán kính \(R = 1\). Biết rằng quả cầu tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích dụng cụ đựng quà hình nón đó.

A. \(2\pi \). 

B. \(3\pi \). 

C. \(\frac{{2\pi }}{3}\). 

D. \(\frac{{8\pi }}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua trục SO ta được thiết diện là tam giác cân SA

B. 

Đặt \(SO = h,OA = OB = R\). Ta có \(IK = IO = 1;\,\,\Delta SKI \sim \Delta SOB \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{IK}}{{OB}} \Rightarrow \frac{{h – 1}}{{\sqrt {{h^2} + {R^2}} }} = \frac{1}{R}\). 

Suy ra \({R^2} = \frac{h}{{h – 2}}\). Vậy thể tích khối nón bằng \(\frac{1}{3}\pi {R^2}.h = \frac{1}{3}\pi \frac{{{h^2}}}{{h – 2}} = f(h);\,\,h > 2\).

\(f'(h) = 0 \Leftrightarrow h = 4 \Rightarrow f(h) = \frac{{8\pi }}{3}\). Vậy thể tích nhỏ nhất của khối nón bằng \(\frac{{8\pi }}{3}\).

===========