ĐỀ BÀI:
Người ta chế tạo một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên chế tạo ra hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là\(2\alpha = 60^\circ \)bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy của hình nón (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón bằng \(9\)cm. Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng diện tích bề mặt của hai quả cầu bằng
A. \(\frac{{100\pi }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\)
B. \(40\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
C. \(42\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
D. \(\frac{{112\pi }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(N,{r_1}\) là tâm và bán kính của mặt cầu nhỏ, \(M,{r_2}\) là tâm và bán kính của mặt cầu lớn.
Do các mặt cầu tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt nón nên \(\Delta SCN\) vuông tại \(C\) và \(\Delta SBM\) vuông tại \(B\).
Hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là \(2\alpha = 60^\circ \Rightarrow \widehat {OSA} = 30^\circ \).
Xét \(\Delta SBM\) vuông tại \(B \Rightarrow {r_2} = MB = SM.\sin 30^\circ = \frac{1}{2}SM = \frac{1}{2}\left( {SO – {r_2}} \right) \Rightarrow {r_2} = \frac{{SO}}{3} = 3\).
Xét \(\Delta SCN\) vuông tại \(C \Rightarrow {r_1} = NC = SN.\sin 30^\circ = \frac{1}{2}SN = \frac{1}{2}\left( {SO – {r_1} – 2{r_2}} \right) \Rightarrow {r_1} = \frac{{SO – 2{r_2}}}{3} = 1\).
Tổng diện tích bề mặt của hai quả cầu bằng \(S = 4\pi \left( {r_1^2 + r_2^2} \right) = 4\pi \left( {{3^2} + {1^2}} \right) = 40\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
===========
Trả lời