[Mức độ 4] Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\log \frac{{x + 1}}{{2y + 1}} = 4{y^4} + 4{y^3} – {x^2}{y^2} – 2{y^2}x\). Khi biểu thức \(4y – {x^2}\) đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của biểu thức \(3x + 2y\) bằng

[Mức độ 4] Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\log \frac{{x + 1}}{{2y + 1}} = 4{y^4} + 4{y^3} – {x^2}{y^2} – 2{y^2}x\). Khi biểu thức \(4y – {x^2}\) đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của biểu thức \(3x + 2y\) bằng

A. \(\frac{{11}}{2}\).

B. \(\frac{7}{2}\).

C.\(3\).

D. \(4\).

Lời giải:

*) Ta có: \(\log \frac{{x + 1}}{{2y + 1}} = 4{y^4} + 4{y^3} – {x^2}{y^2} – 2{y^2}x \Leftrightarrow \log \frac{{xy + y}}{{2{y^2} + y}} = \left( {4{y^4} + 4{y^3} + {y^2}} \right) – \left( {{x^2}{y^2} + 2{y^2}x + {y^2}} \right)\) \( \Leftrightarrow \log \left( {xy + y} \right) – \log \left( {2{y^2} + y} \right) = {\left( {2{y^2} + y} \right)^2} – {\left( {xy + y} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \log \left( {xy + y} \right) + {\left( {xy + y} \right)^2} = \log \left( {2{y^2} + y} \right) + {\left( {2{y^2} + y} \right)^2}\,\,\left( 1 \right)\)

– Xét hàm số \(f\left( t \right) = \log t + {t^2}\) với \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Có: \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 2t > 0;\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Nên \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {xy + y} \right) = f\left( {2{y^2} + y} \right) \Leftrightarrow xy + y = 2{y^2} + y \Leftrightarrow x = 2y\).

*) Với \(x = 2y\) thì \(4y – {x^2} = 4y – 4{y^2} = 1 – {\left( {2y – 1} \right)^2} \le 1\).

\( \Rightarrow 4y – {x^2}\) đạt GTLN khi \(y = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {x = 1} \right)\)

Khi đó: \(3x + 2y = 4\).

===========

Tương tự Câu 49 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ CÓ a CỰC TRỊ HÀM HỢP – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024