[Mức độ 4] Cho hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(f\left( 0 \right) = 0\), \(f\left( { – 3} \right) = f\left( {\frac{3}{2}} \right) = – \frac{{19}}{4}\) và đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có dạng như hình vẽ.

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {4f\left( x \right) + 2{x^2}} \right|\) giá trị lớn nhất của \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ { – 2;\frac{3}{2}} \right]\) là

[Mức độ 4] Cho hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(f\left( 0 \right) = 0\), \(f\left( { – 3} \right) = f\left( {\frac{3}{2}} \right) = – \frac{{19}}{4}\) và đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có dạng như hình vẽ.

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {4f\left( x \right) + 2{x^2}} \right|\) giá trị lớn nhất của \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ { – 2;\frac{3}{2}} \right]\) là

A. \(2\).

B. \(\frac{{39}}{2}\).

C. \(1\).

D. \(\frac{{29}}{2}\).

Lời giải:

Xét hàm số \(h\left( x \right) = 4f\left( x \right) + 2{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức nên \(h\left( x \right)\) cũng là hàm đa thức và \(h\left( 0 \right) = 4f\left( 0 \right) + 2.0 = 0\)

Khi đó \(h’\left( x \right) = 4f’\left( x \right) + 4x \Rightarrow h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = – x\).

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = – x\), ta có

\(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ { – 3;0;\frac{3}{2}} \right\}\)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\) như sau

Vậy giá trị lớn nhất của \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ { – 2;\frac{3}{2}} \right]\) là \(\frac{{29}}{2}\).