[ Mức độ 4] Cho hàm số \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\) có đạo hàm trên \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\)và \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\). Đồ thị hàm số \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\) như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên dương \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\) để hàm số \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\) nghịch biến trên \(12\)?

[ Mức độ 4] Cho hàm số \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\) có đạo hàm trên \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\)và \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\). Đồ thị hàm số \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\) như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên dương \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\) để hàm số \(y = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right|\) nghịch biến trên \(12\)?

A. \(12\).

B. \(12\).

C. Vô số.

D. \(10\).

Lời giải:

Đặt \(g\left( x \right) = \left| {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right| \Rightarrow g\left( x \right) = \sqrt {{{\left[ {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right]}^2}} \).

\( \Rightarrow g’\left( x \right) = \frac{{\left[ {4\cos x.f’\left( {\sin x} \right) – 2\sin 2x} \right]\left[ {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right]}}{{\sqrt {{{\left[ {4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4}} \right]}^2}} }}\).

Ta có \(4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4} \ge 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Với \(4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4} \ge 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4} \ge 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Hàm số \(4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4} \ge 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nghịch biến trên \(4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4} \ge 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) khi \(4f\left( {\sin x} \right) + \cos 2x – \frac{a}{4} \ge 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4f\left( {\sin x} \right) + 1 – 2{\sin ^2}x \ge \frac{a}{4},\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Đặt \(4f\left( t \right) + 1 – 2{t^2} \ge \frac{a}{4} \Leftrightarrow 16f\left( t \right) + 4 – 8{t^2} \ge a,\forall t \in \left( {0;1} \right)\) được \(4f\left( t \right) + 1 – 2{t^2} \ge \frac{a}{4} \Leftrightarrow 16f\left( t \right) + 4 – 8{t^2} \ge a,\forall t \in \left( {0;1} \right)\) (*).

Xét \(h\left( t \right) = 16f\left( t \right) + 4 – 8{t^2} \Rightarrow h’\left( t \right) = 16f’\left( t \right) – 16t = 16\left[ {f’\left( t \right) – 1} \right]\).

Với \( \Leftrightarrow a \le h\left( 1 \right) = 16f\left( 1 \right) + 4 – {8.1^2} = 12\) thì \( \Leftrightarrow a \le h\left( 1 \right) = 16f\left( 1 \right) + 4 – {8.1^2} = 12\) nghịch biến trên \( \Leftrightarrow a \le h\left( 1 \right) = 16f\left( 1 \right) + 4 – {8.1^2} = 12\).

Do đó (*)\( \Leftrightarrow a \le h\left( 1 \right) = 16f\left( 1 \right) + 4 – {8.1^2} = 12\). Vậy có 12 giá trị nguyên dương của a thỏa mãn.