[Mức độ 4] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {x^2} + x – 6\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} – 3{x^2} – 9x + m} \right)\) có đúng ba điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0;4} \right)\). Tính tổng các phần tử của \(S\).

A. \(198\).

B. \(190\).

C. \(280\).

D. \(210\).

Lời giải:

Ta có

• \(g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} – 6x – 9} \right)f’\left( {{x^3} – 3{x^2} – 9x + m} \right)\).

\(\begin{array}{l}g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} – 6x – 9 = 0\\f’\left( {{x^3} – 3{x^2} – 9x + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\,\,\left( l \right)\\x = 3\\{x^3} – 3{x^2} – 9x + m = 2\\{x^3} – 3{x^2} – 9x + m = – 3\end{array} \right.\\ & & & & & \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\ – {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2 = m\\ – {x^3} + 3{x^2} + 9x – 3 = m\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng biến thiên của các hàm số \(y = – {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\), \(y = – {x^3} + 3{x^2} + 9x – 3\) trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) như bảng sau

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra hàm số có đúng ba điểm cực trị khi chỉ khi

\(\left[ \begin{array}{l}24 \le m < 29\\2 < m \le 17\end{array} \right.\)

Vì \(m\) là số nguyên nên \(m = 3,\,\,4,\,\,…,\,\,17,\,\,24,\,\,25,\,\,26,\,\,27,\,\,28\).

Vậy tổng các giá trị nguyên của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán bằng \(280\).