[Mức độ 3] Cho hàm số \(f(x) = {x^5} + 3{x^3} – 4\;m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f(x) + m}}} \right) = {x^3} – m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {1;2} \right]\)?

[Mức độ 3] Cho hàm số \(f(x) = {x^5} + 3{x^3} – 4\;m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f(x) + m}}} \right) = {x^3} – m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {1;2} \right]\)?

A. \(15\).

B. \(16\).

C. \(17\).

D. \(18\).

Lời giải:

Đặt \({\rm{ }}\sqrt[3]{{f(x) + m}} = u \Rightarrow f(x) + m = {u^3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(u) = {x^3} – m}\\{f(x) = {u^3} – m}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow f(u) – f(x) = {x^3} – {u^3} \Leftrightarrow f(u) + {u^3} = f(x) + {x^3}\)

Xét hàm \(g(x) = f(x) + {x^3} = {x^5} + 3{x^3} – 4m + {x^3} = {x^5} + 4{x^3} – 4m\) có \(g'(x) = 5{x^4} + 12{x^2} > 0,\forall x \in [1;2]\)

Do đó \(y = g(x)\) đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f(u) + {u^3} = f(x) + {x^3} \Leftrightarrow u = x \Leftrightarrow \sqrt[3]{{f(x) + m}} = x \Leftrightarrow f(x) + m = {x^3}\\ \Leftrightarrow {x^5} + 3{x^3} – 4m + m = {x^3} \Leftrightarrow {x^5} + 2{x^3} = 3m\end{array}\)

Xét hàm \({\rm{h}}(x) = {x^5} + 2{x^3}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) có \(h'(x) = 5{x^4} + 6{x^2} > 0,\forall x \in [1;2]\)

\( \Rightarrow h(x)\) đồng biến trên \([1;2] \Rightarrow h(1) \le h(x) \le h(2) \Rightarrow 3 \le h(x) \le 48\).

Phương trình \(h(x) = 3\;m\) có nghiệm thuộc \([1;2] \Rightarrow 3 \le 3\;m \le 48 \Rightarrow 1 \le m \le 16\)

Vậy có 16 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

===========

Tương tự Câu 49 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ CÓ a CỰC TRỊ HÀM HỢP – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024