[ Mức độ 4] Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( 5 \right) > 8\) và \(f\left( 1 \right) = 0.\) Biết hàm số

\(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {1 – \frac{x}{2}} \right) – \frac{{{x^2}}}{8}} \right|\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

[ Mức độ 4] Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( 5 \right) > 8\) và \(f\left( 1 \right) = 0.\) Biết hàm số

\(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {1 – \frac{x}{2}} \right) – \frac{{{x^2}}}{8}} \right|\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { – 8; – 4} \right)\).

B. \(\left( { – 10; – 8} \right)\).

C. \(\left( {4; + \infty } \right)\).

D. \(\left( {2;4} \right)\).

Lời giải:

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {1 – \frac{x}{2}} \right) – \frac{{{x^2}}}{8}\)

Ta có \(h’\left( x \right) = – \frac{1}{2}f’\left( {1 – \frac{x}{2}} \right) – \frac{x}{4} = 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{2}\left( {f’\left( {1 – \frac{x}{2}} \right) + \frac{x}{2}} \right) = 0\) \((3)\)

Đặt \(1 – \frac{x}{2} = t \Rightarrow \frac{x}{2} = 1 – t\)

Khi đó \((3) \Leftrightarrow f’\left( t \right) – \left( {t – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 4\\x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)

Ta có \(h(0) = f\left( 1 \right) – 0 = f\left( 1 \right) = 0\); suy ra \(h(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = 0\\x = b(a < 0 < b)\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số là

Ta có \(h\left( { – 8} \right) = f\left( {1 – \frac{{ – 8}}{2}} \right) – \frac{{{{\left( { – 8} \right)}^2}}}{8} = f\left( 5 \right) – 8 > 0\), vì \(f\left( 5 \right) > 8\), suy ra \( – 8 < a\).

Từ đó ta có hàm số nghịch biến trên \(\left( { – 10; – 8} \right)\).