[ Mức độ 4 ] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} – 2x} \right)\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( {{x^2} – 4x + m} \right)\) có \(5\) điểm cực trị?
A.\(8.\)
B. \(7.\)
C. \(6.\)
D. \(5.\)
Lời giải:
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 4x + m} \right) \Rightarrow g’\left( x \right) = \left( {2x – 4} \right)f’\left( {{x^2} – 4x + m} \right)\).
\(f’\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} – 2x} \right) \Rightarrow \) \(g’\left( x \right) = \left( {2x – 4} \right){\left( {{x^2} – 4x + m + 1} \right)^2}\left( {{x^2} – 4x + m} \right)\left( {{x^2} – 4x + m – 2} \right)\)
\(g’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{\left( {{x^2} – 4x + m + 1} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} – 4x + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^2} – 4x + m – 2 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Các phương trình \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\) không có nghiệm chung từng đôi một và \({\left( {{x^2} – 4x + m + 1} \right)^2} \ge 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)
Suy ra \(g\left( x \right)\)có \(5\) điểm cực trị khi và chỉ khi \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\)có hai nghiệm phân biệt khác \(2\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 – m > 0\\4 – m + 2 > 0\\4 – 8 + m \ne 0\\4 – 8 + m – 2 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m < 6\\m \ne 4\\m \ne 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m < 4.\)
\(m\) nguyên dương và \(m < 6\) nên có \(5\) giá trị \(m\) cần tìm. Chọn D
===========
Tương tự Câu 49 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ CÓ a CỰC TRỊ HÀM HỢP – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Trả lời