[Mức độ 4] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), có đạo hàm \(f’\left( x \right) = \left( {{x^2} – 9} \right)\left( {x – 5} \right).\) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} – m} \right)\) có đúng \(7\) điểm cực trị

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(5\)

D. \(6\)

Lời giải:

Ta có \(g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}.f’\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} – m} \right)\)

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}.f’\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} – m} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\;\;\\x = – 2\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} – m = – 3\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} – m = 3\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} – m = 5\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 2\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m – 3,\;\left( 1 \right)\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m + 3,\;\left( 2 \right)\\{e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m + 5,\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\;\;\).

Hàm số \(g\left( x \right)\) có \(7\) điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác \(0\) và \( – 2\) của các phương trình \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) là \(5\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {e^{{x^3} + 3{x^2}}}\) có \(h’\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}\).

Ta có \(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = – 2}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên:

Khi đó có \(3\) trường hợp sau:

Trường hợp 1:

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 3 \ge {e^4}\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{1 < m – 3 < {e^4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge {e^4} – 3 \approx 51,6\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{4 < m < {e^4} + 3 \approx 57,6}\end{array}} \right.\)

Do \(m\;\)nguyên nên \(m \in \left\{ {52;\,53;\,54;\,55;\,56;\,57} \right\}\).

Trường hợp 2:

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}m + 5 \ge {e^4}\\1 < m + 3 < {e^4}\\0 < m – 3 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > {e^4} – 5 \approx 49,6\\ – 2 < m < {e^4} – 3\\3 < m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).

Trường hợp 3:

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < m + 5 < {e^4}}\\{m + 3 \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{m – 3 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 4 < m < {e^4} – 5 \approx 49,6\\m \le – 2\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).

Vậy có \(6\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán