[Mức độ 4] Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} – 5{x^2} + 4} \right).f\left( x \right)}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

[Mức độ 4] Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} – 5{x^2} + 4} \right).f\left( x \right)}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 6.

Lời giải:

Quan sát đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ\({x_0} \in \left( {0;1} \right)\), có hệ số \(a > 0\) và tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. Từ đó suy ra \(f\left( x \right) = a\left( {x – {x_0}} \right){\left( {x – 2} \right)^2}\).

Suy ra \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} – 5{x^2} + 4} \right).f\left( x \right)}} = \frac{{\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} – 5{x^2} + 4} \right).a\left( {x – {x_0}} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\) xác định trên \(D = \left[ { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{x_0},1,2} \right\}\) và \(g\left( x \right) = \frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{a\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}\left( {x – {x_0}} \right)}}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^{ + / – }} g\left( x \right) = \pm \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^{ + / – }}} g\left( x \right) = \pm \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)\) hữu hạn nên hàm số có 2 tiệm cận đứng là \(x = {x_0}\) và \(x = 2\).