[Mức độ 3] Cho hàm số \(y\, = \,f(x)\,\) có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( { – 6} \right) = 42\) và bảng xét dấu đạo hàm như

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\, = \,f\left( { – \,3{x^4}\,\, + \,\,12{x^2}\, – \,15} \right)\, + \,2{x^6}\, + \,6{x^4}\, – 48{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\) bằng

[Mức độ 3] Cho hàm số \(y\, = \,f(x)\,\) có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( { – 6} \right) = 42\) và bảng xét dấu đạo hàm như

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\, = \,f\left( { – \,3{x^4}\,\, + \,\,12{x^2}\, – \,15} \right)\, + \,2{x^6}\, + \,6{x^4}\, – 48{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\) bằng

A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Lời giải:

Đặt \(y\, = \,g(x)\,\, = \,f\left( { – \,3{x^4}\,\, + \,\,12{x^2}\, – 15} \right)\, + \,2{x^6}\, + \,6{x^4}\, – 48{x^2}\)

\(g'(x)\,\, = \,\,\,\left( { – 12{x^3} + 24x} \right)\,f’\left( { – \,3{x^4}\,\, + \,\,12{x^2}\, – \,15} \right)\, + 12{x^5}\, + \,24{x^3}\, – \,96x\)

\( = \,\, – 12x\left( {{x^2} – 2} \right)f’\left( { – \,3{x^4}\,\, + \,\,12{x^2}\, – \,15} \right)\, + 12x\left( {{x^2} – 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\)

\( = \,\, – 12x\left( {{x^2} – 2} \right)\left[ {f’\left( { – \,3{x^4}\,\, + \,\,12{x^2}\, – \,15} \right) – \left( {{x^2} + 4} \right)} \right]\).

Vì \( – \,3{x^4}\,\, + \,\,12{x^2}\, – \,15 = – 3{\left( {{x^2} – 2} \right)^2} – 3 \le – 3\)

\( \Rightarrow f’\left( { – \,3{x^4}\,\, + \,\,12{x^2}\, – \,15} \right) < 0 \Rightarrow f’\left( { – \,3{x^4}\,\, + \,\,12{x^2}\, – \,15} \right) – \left( {{x^2} + 4} \right) < 0\)

\( \Rightarrow \,\,g’\left( x \right)\,\, = \,\,0 \Leftrightarrow \,12{x^3}\, – 24x\, = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x\,\, = \sqrt 2 \\x = \, – \,\sqrt 2 \,\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { – 1} \right) = g\left( 1 \right) = f\left( { – 6} \right) – 40 = 2\).