[Mức độ 4] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {\left( {x – 1} \right)^2}\left( {{x^2} – 2x} \right)\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( {{x^2} – 8x + m} \right)\) có \(5\) điểm cực trị?

[Mức độ 4] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {\left( {x – 1} \right)^2}\left( {{x^2} – 2x} \right)\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( {{x^2} – 8x + m} \right)\) có \(5\) điểm cực trị?

A. \(15\).

B. \(17\).

C. \(16\)

D. \(18\)

Lời giải:

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 8x + m} \right)\)

\(f’\left( x \right) = {\left( {x – 1} \right)^2}\left( {{x^2} – 2x} \right) \Rightarrow \) \(g’\left( x \right) = \left( {2x – 8} \right){\left( {{x^2} – 8x + m – 1} \right)^2}\left( {{x^2} – 8x + m} \right)\left( {{x^2} – 8x + m – 2} \right)\)

\(g’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\{x^2} – 8x + m – 1 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} – 8x + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^2} – 8x + m – 2 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Các phương trình \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\) không có nghiệm chung từng đôi một và \({\left( {{x^2} – 8x + m – 1} \right)^2} \ge 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(g\left( x \right)\)có \(5\) điểm cực trị khi và chỉ khi \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\)có hai nghiệm phân biệt khác \(4\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _2} = 16 – m > 0\\{\Delta _3} = 16 – m + 2 > 0\\16 – 32 + m \ne 0\\16 – 32 + m – 2 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 16\\m < 18\\m \ne 16\\m \ne 18\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m < 16\).

Vì \(m\) nguyên dương và \(m < 16\) nên có \(15\) giá trị \(m\) cần tìm.

===========

Tương tự Câu 49 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ CÓ a CỰC TRỊ HÀM HỢP – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024