[Mức độ 3] Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 9\) và điểm \(M\left( {1\,;\,3\,;\, – 1} \right)\). Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(J\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). Tính \(2a + b + c\).

A. \(\frac{{134}}{{25}}\).

B. \(\frac{{116}}{{25}}\).

C. \(\frac{{84}}{{25}}\).

D. \(\frac{{62}}{{25}}\).

Lời giải:

Ta có: \(\left( S \right):\left\{ \begin{array}{l}I\left( {1\,;\, – 1\,;\,2} \right)\\R = 3\end{array} \right..\) Khi đó \(IM = 5 > R\)\( \Rightarrow \)\(M\) nằm ngoài mặt cầu.

Tâm \(J\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) nằm trên \(MI:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 1 + 4t\\z = 2 – 3t\end{array} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nên \(J\left( {1\,;\, – 1 + 4t\,;\,2 – 3t} \right)\,\).

Xét tam giác\(MHI\)vuông tại \(H\) có:

\(MI = 5\,;\,IH = 3\)\( \Rightarrow MH = \sqrt {M{I^2} – H{I^2}} = 4\).

\(\frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow HJ = \frac{{12}}{5}\).

\(MJ.MI = M{H^2} \Rightarrow MJ = \frac{{16}}{5}\).

Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l}M\left( {1\,;\,3\,;\, – 1} \right)\\J\left( {1\,;\, – 1 + 4t\,;\,2 – 3t} \right)\,\end{array} \right.\) \( \Rightarrow MJ = \sqrt {{{\left( { – 4 + 4t} \right)}^2} + {{\left( {3 – 3t} \right)}^2}} = \frac{{16}}{5}\).

\( \Leftrightarrow {\left( { – 4 + 4t} \right)^2} + {\left( {3 – 3t} \right)^2} = \frac{{256}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow 16 – 32t + 16{t^2} + 9 – 18t + 9{t^2} = \frac{{256}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow 25{t^2} – 50t + \frac{{369}}{{25}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{9}{{25}}\\t = \frac{{41}}{{25}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}J\left( {1\,;\,\frac{{11}}{{25}}\,;\,\frac{{23}}{{25}}} \right)\\J\left( {1\,;\,\frac{{139}}{{25}}\,;\,\frac{{ – 73}}{{25}}} \right)\end{array} \right.\).

+) Với \(J\left( {1\,;\,\frac{{11}}{{25}}\,;\,\frac{{23}}{{25}}} \right)\) thì \(IJ = \frac{9}{5} < IM\)(nhận).

+) Với \(J\left( {1\,;\,\frac{{139}}{{25}}\,;\,\frac{{ – 73}}{{25}}} \right)\) thì \(IJ = \frac{{\sqrt {1097} }}{5} > IM\) (loại).

Vậy \(J\left( {1\,;\,\frac{{11}}{{25}}\,;\,\frac{{23}}{{25}}} \right)\) nên: \(2a + b + c = \frac{{84}}{{25}}\).