[Mức độ 3] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = x{\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x – 4} \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + m} \right)\) có 3 điểm cực trị.

[Mức độ 3] Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = x{\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x – 4} \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + m} \right)\) có 3 điểm cực trị.

A. \(0\).

B. \(4\).

C. \(3\).

D. \(2\).

Lời giải

Ta có \(f’\left( x \right) = x{\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x – 4} \right);f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\) (\(x = 0,x = 4\) là nghiệm đơn; \(x = 1\) là nghiệm bội chẵn).

Lại có \(g’\left( x \right) = 2x.f’\left( {{x^2} + m} \right);g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f’\left( {{x^2} + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + m = 0\\{x^2} + m = 1\\{x^2} + m = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = – m\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} = 1 – m\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^2} = 4 – m\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Do \(\left( 2 \right)\) có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình \(\left( 1 \right),\left( 3 \right)\) có nghiệm không chung nhau và \( – m < 4 – m.\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị \( \Leftrightarrow g’\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm bội lẻ phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – m \le 0\\4 – m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < 4\).

Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2,3} \right\}\).Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.

===========

Tương tự Câu 49 TÌM m ĐỂ HÀM SỐ CÓ a CỰC TRỊ HÀM HỢP – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024