Một giỏ hoa treo trong nhà làm bằng 3 sợi dây không giãn, mỗi sợi dài $60\left( cm \right)$. miếng kê là một miếng gỗ cân đối hình tròn bán kính $20\left( cm \right)$, ba sợi dây được thắt một đầu bên trên và đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều (giả sử mối thắt của 3 sợi dây và mối nối của mỗi sợi dây với miếng gỗ không đáng kể). Biết lực chịu đựng của mỗi sợi dây bằng nhau và mỗi sợi chịu không quá $15N$ trọng lượng của miếng giá gỗ là $5N$. Tính trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt (đơn vị $N$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Đáp án: $37,4$.
Gọi điểm thắt một đầu bên trên là $O$ và $3$ điểm nối $3$ sợi dây với giá gỗ tạo thành tam giác đều $ABC$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Vì tam giác $ABC$ đều nên $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Do đó, $GA=GB=GC=20cm$. Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng ${{F}_{1}},{{F}_{2}},{{F}_{3}}$ trên mỗi sợi dây. Đặt $F=x$ với $0{<}x\le 15$.
Theo bài ra ta có $OA=OB=OC=60cm$ nên $OG\bot \left( ABC \right)$ và $\left| \overrightarrow{OA} \right|=\left| \overrightarrow{OB} \right|=\left| \overrightarrow{OC} \right|=60$
Do đó, $\left| \overrightarrow{{{F}_{1}}} \right|=\left| \overrightarrow{{{F}_{2}}} \right|=\left| \overrightarrow{{{F}_{3}}} \right|$. Từ đó ta có $\overrightarrow{{{F}_{1}}}=\dfrac{x}{60}\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{{{F}_{2}}}=\dfrac{x}{60}\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{{{F}_{3}}}=\dfrac{x}{60}\overrightarrow{OC}$.
Suy ra $\overrightarrow{{{F}_{1}}}+\overrightarrow{{{F}_{2}}}+\overrightarrow{{{F}_{3}}}=\dfrac{x}{60}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)=\dfrac{3x}{60}\overrightarrow{OG}=\dfrac{x}{20}\overrightarrow{OG}$.
Mặt khác, ta lại có $\overrightarrow{{{F}_{1}}}+\overrightarrow{{{F}_{2}}}+\overrightarrow{{{F}_{3}}}=\overrightarrow{P}$ với $\overrightarrow{P}$ là trọng lượng của giá gỗ và các chậu hoa.
Nên ta có $\left| \overrightarrow{P} \right|=\dfrac{x}{20}\left| \overrightarrow{OG} \right|=\dfrac{x\sqrt{{{60}^{2}}-{{20}^{2}}}}{20}=x\sqrt{8}\le 15\sqrt{8}$.
Vậy giá trị lớn nhất trọng lượng giá gỗ và chậu hoa là $\max \left| \overrightarrow{P} \right|=15\sqrt{8}.$
Suy ra trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt là $15\sqrt{8}-5\approx 37,4\left( N \right)$.