Ông Nam là một người rất đam mê cờ tướng và ông dự định sẽ xây một nhà gỗ trong vườn để làm nơi ngồi đánh cờ. Nhà gỗ được dựng bởi mái che và bốn cột đỡ tại các vị trí khác nhau trên một mặt đất bằng phẳng (minh họa như hình vẽ). Giả sử trong không gian với hệ trục $Oxyz$, vị trí đặt bốn cột lần lượt có tọa độ là $A\left( 0;2-a;1-a \right)$; $B\left( a+3;-1;1 \right)$; $C\left( -2;4;2 \right)$ và $D\left( -2;-a;-a-3 \right)$. Tính tổng các giá trị của $a$ sao cho vị trí của bốn cột gỗ thoả mãn yêu cầu.
Đáp án: -4
Lời giải: Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( a+3;a-3;a \right);\overrightarrow{AC}=\left( -2;a+2;a+1 \right)$ và $\overrightarrow{AD}=\left( -2;-2;-4 \right)$
Để bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$
$\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -4a-3;-{{a}^{2}}-6a-3;{{a}^{2}}+7a \right)$
Khi đó ta có: $\left( -4a-3 \right)\left( -2 \right)+\left( -2 \right)\left( -{{a}^{2}}-6a-3 \right)+\left( {{a}^{2}}+7a \right)\left( -4 \right)=0\Leftrightarrow -2{{a}^{2}}-8a+12=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=-2+\sqrt{10} \\ a=-2-\sqrt{10} \end{array} \right.\Rightarrow \sum{a}=\left( -2+\sqrt{10}+-2-\sqrt{10} \right)=-4$
Vậy tổng các giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $-4$.