Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một ngọn hải đăng đặt tại điểm $L\left( 1;2;5 \right)$ phát ra một tia sáng thẳng theo hướng của vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 2;-1;-2 \right)$. Mặt biển được coi như mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Gọi $T$ là điểm mà tia sáng chạm vào mặt biển và ${{L}_{0}}$ là hình chiếu vuông góc của $L$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $LT$ và đường thẳng $L{{L}_{0}}$. Tính góc giữa mặt phằng $\left( \alpha \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị và số đo góc là độ)
Đáp án: 27
Lời giải: Tọa độ ${{L}_{0}}\left( 1;2;0 \right)$
Phương trình tham số của đường thẳng $LT$ là: $\left\{ \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=2-t \\ z=5-2t \end{array} \right.$ với $t\ge 0$
Phương trình mặt biển là $\left( Oxy \right)$ có $z=0$ nên suy ra $5-2t=0\Leftrightarrow t=\dfrac{5}{2}$ $\Rightarrow T\left( 6;-\dfrac{1}{2};0 \right)$
Ta có: $\overrightarrow{L{{L}_{0}}}=\left( 0;0;-5 \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{v},\overrightarrow{L{{L}_{0}}} \right]=\left( 1;2;0 \right)$
Mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ có phương trình $y=0$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( Oxz \right)}}}=\left( 0;1;0 \right)$
Khi đó, góc giữa mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ là:
$\cos \theta =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{ \left( \alpha \right)}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( Oxz \right)}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{ \left( \alpha \right)}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( Oxz \right)}}} \right|}=\dfrac{\left| 2 \right|}{\sqrt{5}.1}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow \theta \approx 27{}^\circ$