Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tỉ lệ độ dài trên các trục là $10$ km tính cho một đơn vị tỉ lệ trên mỗi trục có 4 vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A\left( -1;2;-1 \right)$, $B\left( 1;4;0 \right)$, $C\left( 3;0;9 \right)$ và $D\left( 7;10;-1 \right)$. Ở một thời điểm cả bốn vệ tinh bắn tín hiệu về điểm $M$ và đo được độ dài $MA=6,MB=3,MC=10,MD=6$. Ngay sau đó $10$ giây, cả bốn vệ tinh lại bắn tin hiệu về vật $M$ và đo được $MA=3,MB=4,MC=\sqrt{85},MD=\sqrt{137}$. Nếu coi như vật $M$ chuyển động thẳng đều thì tốc độ của vật bằng bao nhiêu (đơn vị: m/s và kết quả làm tròn đến hang đơn vị)? (Bỏ qua khoảng thời gian phát và thu tín hiệu)
Đáp án: 6403
Lời giải: Gọi $M\left( a;b;c \right)$. Tại thời điểm đầu bốn vị tinh bắn tín hiệu về điểm $M$. Khi đó ta có hệ phương trình sau: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}=36\left( 1 \right) \\ {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}=9\left( 2 \right) \\ {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-9 \right)}^{2}}=100\left( 3 \right) \\ {{\left( a-7 \right)}^{2}}+{{\left( b-10 \right)}^{2}}+{{\left( c+1 \right)}^{2}}=36\left( 4 \right) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( 2 \right)-\left( 1 \right):-4a-4b-2c=-38 \\ \left( 3 \right)-\left( 1 \right):-8a+4b-20c=-20 \\ \left( 4 \right)-\left( 1 \right):-14a-14b=-144 \end{array} \right.$ Giải hệ phương trình này, ta tìm được $a=3,b=6,c=1\Rightarrow M\left( 3;6;1 \right)$ Sau đó 10 giây, về tinh lại bán tín hiệu về điểm $M$. Gọi ${M}’\left( x;y;z \right)$ khi đó ta có: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\left( 1 \right) \\ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=16\left( 2 \right) \\ {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-9 \right)}^{2}}=85\left( 3 \right) \\ {{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=137\left( 4 \right) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( 2 \right)-\left( 1 \right):-4x-4y-2z=-4 \\ \left( 3 \right)-\left( 1 \right):-8x+4y-20z=-8 \\ \left( 4 \right)-\left( 1 \right):-14x-14y=-16 \end{array} \right.$ Giải hệ phương trình này, ta tìm được $x=1,y=0,z=0\Rightarrow {M}’\left( 1;0;0 \right)$ Khi đó khoảng cách $M{M}’=\sqrt{{{\left( 1-3 \right)}^{2}}+{{\left( 0-6 \right)}^{2}}+{{\left( 0-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{41}$ Do vật chuyển động thẳng đều nên vận tốc của vật là: ${{v}_{M}}=\dfrac{M{M}’}{t}=\dfrac{\sqrt{41}{{.10}^{4}}}{10}=6403$ (m/s)