Một công ty xây dựng đang lên kế hoạch thiết kế một tòa nhà chọc trời trong khu đô thị mới. Để đảm bảo an toàn và sẵn sàng cho các tình huống khẩn cấp, công ty muốn thiết kế đường bay tối ưu cho trực thăng cứu hộ tiếp cận đỉnh tòa nhà. Giả sử tòa nhà được xây dựng với đỉnh tòa nhà $T\left(40;60;150\right)$ trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$, với $O$ là gốc tọa độ nằm ở mặt đất. Trực thăng cứu hộ khởi hành từ sân bay tại điểm $X\left(100;-40;0\right)$. Một người $A$ đứng trong tầng nào đó của tòa nhà có tọa độ là $A\left(40;30;-20\right)$. Gọi phương trình đường thẳng $d$ mô tả đường bay tối ưu của trực thăng cứu hộ từ điểm $X$ đến đỉnh tòa nhà $T$ và $M\left(a;b;c\right)$ là điểm thuộc đường bay của trực thăng cứu hộ để khoảng cách từ $M$ đến $A$ ngắn nhất. Tính $a+b+c$.
Đáp án: 100
Lời giải: Đường thẳng $d$ đi qua $X\left(100;-40;0\right)$ và $T\left(40;60;150\right)$ nên có một vectơ chỉ phương là:
$\overrightarrow{XT}=\left(-60;100;150\right)=10\left(-6;10;15\right)$
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{\begin{array}{l} x=100-6t\\ y=-40+10t\\ z=15t\end{array}\right.$
Vì $M\left(a;b;c\right)\in d$ nên tọa độ điểm $M\left(100-6t;-40+10t;15t\right)$
Khi đó: $MA=\sqrt{\left(x_A-x_M\right)^2+\left(y_A-y_M\right)^2+\left(z_A-z_M\right)^2}=\sqrt{361t^2-1520t+8900}$
Để $M{A_{\min}}$ thì hàm số $f(t)=361t^2-1520t+8900$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Hàm số $f(t)$ là một hàm bậc hai với hệ số của $t^2$ là $361{>}0$ và đồ thị hướng lên trên nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1520}{2.361}=\dfrac{760}{361}$.
Thay $t=\dfrac{760}{361}$ vào tọa độ điểm $M\left(100-6t;-40+10t;15t\right)$ ta được $\left\{\begin{array}{l} a=\dfrac{1660}{19}\\ b=-\dfrac{360}{19}\\ c=\dfrac{600}{19}\end{array}\right.$
Khi đó $a+b+c=\dfrac{1660}{19}+\left(-\dfrac{360}{19}\right)+\dfrac{600}{19}=100$.