MH-BGD-L2: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = 1\) là

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = 1\) là

A. \(7\).

B. \(4\).

C. \(5\).

D. \(6\).

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Tự luận truyền thống

Đặt \(t = \sin x\), \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right]\)

Khi đó phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = 1\) trở thành \(f\left( t \right) = 1,\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]\)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 1\).

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(f\left( t \right) = 1 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = a \in \left( { – 1;0} \right)}\\{t = b \in \left( {0;1} \right)}\end{array}} \right.\).

Trường hợp 1 : \(t = a \in \left( { – 1;0} \right)\)

Ứng với mỗi giá trị \(t \in \left( { – 1;0} \right)\) thì phương trình \(\sin x = t\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn\(\pi  < {x_1} < {x_2} < 2\pi \).

Trường hợp 2 : \(t = b \in \left( {0;1} \right)\).

Ứng với mỗi giá trị \(t \in \left( {0;1} \right)\) thì phương trình có \(3\) nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\)thỏa mãn \(0 < {x_3} < {x_4} < \pi ;2\pi  < {x_5} < \frac{{5\pi }}{2};\)

Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt \(t = \sin x\), \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right]\)

Khi đó phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = 1\) trở thành \(f\left( t \right) = 1,\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]\)

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 5.

PHÁT TRIỂN # – 46