1. Phương trình logarit cơ bản
Phương trình \({\log _a}x = m\left( {0 < a \ne 1} \right)\) được gọi là phương trình logarit cơ bản.
Điều kiện xác định: \(x > 0\).
Với mọi \(m \in R\) thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^m}\).
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số.
Phương pháp:
– Bước 1: Biến đổi các logarit về cùng cơ số.
– Bước 2: Sử dụng kết quả \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\)
– Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) ở trên.
– Bước 4: Kết hợp điều kiện và kết luận nghiệm.
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm \({\log _a}f\left( x \right)\) chung, đặt làm ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.
– Bước 2: Giải phương trình chứa ẩn phụ, kiểm tra điều kiện.
– Bước 3: Thay ẩn phụ và giải phương trình đối với ẩn ban đầu.
– Bước 4: Kết luận nghiệm.
Dạng 3: Phương pháp mũ hóa.
Phương trình có dạng \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right)\).
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
– Bước 2: Lấy lũy thừa cơ số \(a\) hai vế:
\({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}\)
– Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(x\).
– Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Dạng 4: Phương trình đưa về phương trình tích.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
– Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
– Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm.
– Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
Dạng 5: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
– Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu.
– Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.
– Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài tập Giải phương trình lôgarit
Ví dụ 5:
Giải phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)\) (Đưa về cùng cơ số)
Lời giải:
Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:
\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} – 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x – {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)
Ví dụ 6:
Giải phương trình \({\log _{{x^2} – 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) (Dùng phương pháp mũ hóa)
Lời giải:
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 1 > 0}\\ {{x^2} – 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < – 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} – 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} – 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} – 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.
Ví dụ 7:
Giải phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\) (Đặt ẩn phụ)
Lời giải:
\(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} – {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:
\({t^2} + 4t – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = – 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = – 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ – 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=2\) và \(x=\frac{1}{32}\).
Ví dụ 8:
Giải phương trình \({\log _2}({x^2} – 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\) (Dùng phương pháp hàm số)
Lời giải:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} – 4 > 0\\ x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} – 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\\ \Leftrightarrow {\log _2}({x^2} – 4) – {\log _2}(x + 2) = 3 – x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = 3 – x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x – 2} \right) = 3 – x \end{array}\)
Nhận xét:
Hàm số \(y = {\log _2}(x – 2)\) là hàm số đồng biến.
Hàm số \(y=3-x\) là hàm số nghịch biến
Vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Dễ thấy x=3 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có ngiệm duy nhất \(x=3.\)
Trả lời