Gọi \(S\) là tập hợp các số thực \(m\) sao cho với mỗi \(m \in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| {z – m} \right| = 9\) và \(\frac{z}{{z – 6}}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập \(S\).
A. \(6.\)
B. \(12.\)
C. \(0.\)
D. \(24.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(z = x + iy\) với \(x,y \in \mathbb{R}.\)
Ta có \(\frac{z}{{z – 6}} = \frac{{x + iy}}{{x – 6 + iy}} = \frac{{\left( {x + iy} \right)\left( {x – 6 – iy} \right)}}{{{{\left( {x – 6} \right)}^2} + {y^2}}} = \frac{{x\left( {x – 6} \right) + {y^2} – 6iy}}{{{{\left( {x – 6} \right)}^2} + {y^2}}}.\)
Do đó \(\frac{z}{{z – 6}}\)là số thuần ảo khi \(x\left( {x – 6} \right) + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} = 9.\)
Mặt khác \(\left| {z – m} \right| = 9 \Leftrightarrow {\left( {x – m} \right)^2} + {y^2} = 81\)
Để có đúng một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} = 9\\{\left( {x – m} \right)^2} + {y^2} = 81\end{array} \right.\) có đúng một nghiệm.
Nghĩa là hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} = 9\) và \(\left( {{C_2}} \right):{\left( {x – m} \right)^2} + {y^2} = 81\) tiếp xúc nhau.
Xét \(\left( {{C_1}} \right)\)có tâm \({I_1}\left( {3;0} \right)\) bán kính \({R_1} = 3\) và \(\left( {{C_2}} \right)\)có tâm \({I_2}\left( {m;0} \right)\) bán kính \({R_2} = 9.\)
Cần có \(\left[ \begin{array}{l}{I_1}{I_2} = \left| {{R_1} – {R_2}} \right|\\{I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {m – 3} \right| = 6\\\left| {m – 3} \right| = 12\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {9; – 3;15; – 9} \right\}.\)
Vậy tổng là \(9 + ( – 3) + 15 + ( – 9) = 12.\)
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời